Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada para determinar o volume da região limitada acima pelo parabolóide
e abaixo pelo parabolóide
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume da região que está acima do parabolóide
e abaixo do parabolóide
. Vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para lidar com simetrias circulares como essas. Para isso, vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas cilíndricas e configurar os limites da nossa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a conversão para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume
é dado por:
Passo 3
Agora, vamos reescrever as equações dos parabolóides em coordenadas cilíndricas. Para o parabolóide de cima:
E para o parabolóide de baixo:
Passo 4
Para encontrar o volume entre esses dois parabolóides, precisamos determinar os limites de integração. Primeiro, encontraremos o ponto onde os dois parabolóides se interceptam:
Então, o raio
varia de 0 a 1.
Passo 5
O ângulo
varia de 0 a
, já que estamos cobrindo uma área completa em torno do eixo
.
Passo 6
Agora, configuramos a integral para o volume
:
Aqui,
é o limite inferior de
e
é o limite superior.
Passo 7
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos simplificar a expressão:
Então, a integral fica:
Passo 9
Integrando em relação a
:
Passo 10
Ficou só a integração em relação a
:
Resposta
O volume da região limitada pelos parabolóides é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule
na caixa retangular
,
.
Calcule a integral dupla iterada
invertendo a ordem de integração.
Nos exercícios
, encontre uma equação para o plano que seja tangente à superfície no ponto dado.
,
Prove o teste da divergência.