Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada para determinar o volume da região limitada acima pelo parabolóide z = 5 - x^2 - y^2 e abaixo pelo parabolóide z = 4 x^2 + 4 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume da região que está acima do parabolóide e abaixo do parabolóide . Vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para lidar com simetrias circulares como essas. Para isso, vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas cilíndricas e configurar os limites da nossa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a conversão para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume é dado por:

Passo 3

Agora, vamos reescrever as equações dos parabolóides em coordenadas cilíndricas. Para o parabolóide de cima:
E para o parabolóide de baixo:

Passo 4

Para encontrar o volume entre esses dois parabolóides, precisamos determinar os limites de integração. Primeiro, encontraremos o ponto onde os dois parabolóides se interceptam:
Então, o raio varia de 0 a 1.

Passo 5

O ângulo varia de 0 a , já que estamos cobrindo uma área completa em torno do eixo .

Passo 6

Agora, configuramos a integral para o volume :
Aqui, é o limite inferior de e é o limite superior.

Passo 7

Vamos integrar primeiro em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos simplificar a expressão:
Então, a integral fica:

Passo 9

Integrando em relação a :

Passo 10

Ficou só a integração em relação a :

Resposta

O volume da região limitada pelos parabolóides é unidades cúbicas.

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