Sejam e dois conjuntos.
Determine o número de sobrejeções possíveis de em .

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos dois conjuntos: e . A pergunta é: quantas funções sobrejetoras (ou seja, que cobrem todo o conjunto ) podemos formar de para ? Vamos usar conceitos de combinatória para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo elemento em , existe pelo menos um elemento em tal que . Ou seja, todo elemento de precisa ser “atingido” pela função.

Passo 3

Agora, vamos contar quantas funções possíveis existem de para . Como tem 2 elementos e tem 3, cada elemento de pode ser mapeado para qualquer dos 3 elementos de . Portanto, o número total de funções é .

Passo 4

Para que uma função seja sobrejetora, todos os elementos de precisam ser mapeados por elementos de . Porém, como só tem 2 elementos e tem 3, é impossível que todos os 3 elementos de sejam alcançados por apenas 2 elementos de .

Passo 5

Vamos confirmar isso: se mapeamos os dois elementos de para , no máximo cobrimos 2 dos 3 elementos de . Sempre haverá pelo menos um elemento de que não será atingido, tornando a função não sobrejetora.

Resposta

Não há funções sobrejetoras de para . O número de sobrejeções possíveis é 0.

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Determine o número de injeções possíveis de em .
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Prove o Princípio das Casas de Pombo: Se , então, não existe uma função injetora .