Sejam
e
dois conjuntos.
Determine o número de injeções possíveis de
em
.
Determine o número de injeções possíveis de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir quantas injeções existem de um conjunto
para outro conjunto
. Isso está dentro da área de Combinações e Permutações na matemática, mais especificamente sobre funções injetoras. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma injeção e como contar esse tipo de função.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que é uma injeção. Uma função é chamada de injetora se cada elemento do conjunto de partida (
) é mapeado para um elemento distinto no conjunto de chegada (
). Ou seja, não pode ter dois elementos de
apontando para o mesmo elemento de
.
Passo 3
Agora, vamos contar quantas dessas injeções podemos fazer. Como
tem 2 elementos e
tem 3, para cada elemento em
, precisamos escolher um elemento diferente em
.
- Para o primeiro elemento de
(vamos dizer o número 1), temos 3 opções em ( ). - Depois de escolher para 1, para o segundo elemento de
(o número 2), sobra 2 opções em , já que não pode repetir o que escolheu para 1.
Passo 4
Multiplicando as opções, temos:
Então, existem 6 maneiras diferentes de mapear os elementos de
para
de forma injetora.
Resposta
Existem 6 injeções possíveis de
em
.
Exercícios relacionados
Suponha que
e
sejam conjuntos finitos tais que
,
,
e que
e
. Prove que
é finito e que
.
Suponha que
e
sejam conjuntos finitos tais que
. Prove que
.
Sejam
e
dois conjuntos.
Determine o número de sobrejeções possíveis de em
.
Determine o número de sobrejeções possíveis de
Prove que todo conjunto finito não-vazio
de números naturais contém um elemento máximo (isto é, existe
tal que
).