Prove que, para todo
no dominio de f
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por uma série infinita, e queremos provar que a derivada dessa função,
, é igual a duas expressões diferentes de séries. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar séries de potências e manipular somas infinitas.
Passo 2
Vamos supor que a função
seja definida pela série de potências:
Essa é a série da função exponencial
, mas vamos focar apenas na forma da série para a derivação.
Passo 3
Para encontrar a derivada
, vamos derivar termo a termo a série. A derivada de cada termo
em relação a
é:
Aqui, usamos a regra do poder para derivar
.
Passo 4
Assim, a derivada da função
fica:
Note que começamos a soma em
porque, quando
, o termo seria zero.
Passo 5
Agora, vamos fazer uma mudança de índice na série para simplificar. Vamos substituir
. Quando
vai de 1 a
,
vai de 0 a
. Assim, a série fica:
Aqui, apenas renomeamos a variável de soma para simplificar a expressão.
Passo 6
Comparando as duas expressões que obtivemos para
:
e
Vemos que são, na verdade, a mesma série apenas com índices diferentes. Portanto, provamos que:
Resposta
Assim, mostramos que
é igual às duas expressões de séries fornecidas, conforme solicitado.
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.