Prove que, para todo no dominio de f

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma série infinita, e queremos provar que a derivada dessa função, , é igual a duas expressões diferentes de séries. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar séries de potências e manipular somas infinitas.

Passo 2

Vamos supor que a função seja definida pela série de potências:
Essa é a série da função exponencial , mas vamos focar apenas na forma da série para a derivação.

Passo 3

Para encontrar a derivada , vamos derivar termo a termo a série. A derivada de cada termo em relação a é:
Aqui, usamos a regra do poder para derivar .

Passo 4

Assim, a derivada da função fica:
Note que começamos a soma em porque, quando , o termo seria zero.

Passo 5

Agora, vamos fazer uma mudança de índice na série para simplificar. Vamos substituir . Quando vai de 1 a , vai de 0 a . Assim, a série fica:
Aqui, apenas renomeamos a variável de soma para simplificar a expressão.

Passo 6

Comparando as duas expressões que obtivemos para :
e
Vemos que são, na verdade, a mesma série apenas com índices diferentes. Portanto, provamos que:

Resposta

Assim, mostramos que é igual às duas expressões de séries fornecidas, conforme solicitado.

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.