Prove que, para todo x no dominio de f
f^prime(x)=sumn=1^+infty x^n-1(n-1)!=sumn=0^+infty x^nn!

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma série infinita, e queremos provar que a derivada dessa função, , é igual a duas expressões diferentes de séries. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar séries de potências e manipular somas infinitas.

Passo 2

Vamos supor que a função f(x) = sumn=0^+infty x^nn! seja definida pela série de potências:
Essa é a série da função exponencial , mas vamos focar apenas na forma da série para a derivação.

Passo 3

Para encontrar a derivada ddx ( x^nn! ) = n x^n-1n! = x^n-1(n-1)! , vamos derivar termo a termo a série. A derivada de cada termo em relação a é:
Aqui, usamos a regra do poder para derivar .

Passo 4

Assim, a derivada da função f'(x) = sumn=1^+infty x^n-1(n-1)! fica:
Note que começamos a soma em porque, quando , o termo seria zero.

Passo 5

Agora, vamos fazer uma mudança de índice na série para simplificar. Vamos substituir f'(x) = summ=0^+infty x^mm! . Quando vai de 1 a , vai de 0 a . Assim, a série fica:
Aqui, apenas renomeamos a variável de soma para simplificar a expressão.

Passo 6

Comparando as duas expressões que obtivemos para f'(x) = sumn=1^+infty x^n-1(n-1)! :
f'(x) = summ=0^+infty x^mm!
e
f'(x) = sumn=1^+infty x^n-1(n-1)! = sumn=0^+infty x^nn!
Vemos que são, na verdade, a mesma série apenas com índices diferentes. Portanto, provamos que:

Resposta

Assim, mostramos que é igual às duas expressões de séries fornecidas, conforme solicitado.

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