Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular:
Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais que contêm raízes quadradas de expressões quadráticas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos facilitar a expressão dentro da raiz. Observamos que
se parece com a identidade trigonométrica
. Para isso, vamos fazer uma substituição que simplifica a raiz. Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original. Substituindo:
Simplificando cada parte:
Passo 5
Substituindo essas simplifica�es na integral:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, a integral está bem mais simples:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Mas a gente precisa voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos
, então podemos usar um triângulo retângulo para expressar
em termos de
.
Em um triângulo onde
, a hipotenusa é
e o cateto adjacente é
. O cateto oposto, então, é
.
Logo:
Resposta
Substituindo de volta, a integral fica:
Portanto, a solução da integral é: