integral 1x^2 raizx^2-49 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular:
integral 1x^2 raizx^2 - 49 , dx
Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais que contêm raízes quadradas de expressões quadráticas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a expressão dentro da raiz. Observamos que x = 7 sec(theta) se parece com a identidade trigonométrica . Para isso, vamos fazer uma substituição que simplifica a raiz. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dx = 7 sec(theta) tan(theta) , dtheta em termos de . Derivando :

Passo 4

Vamos substituir integral 1(7 sec(theta))^2 raiz(7 sec(theta))^2 - 49 cdot 7 sec(theta) tan(theta) , dtheta e x^2 = 49 sec^2(theta) na integral original. Substituindo:
raizx^2 - 49 = raiz49 sec^2(theta) - 49 = 7 tan(theta)
Simplificando cada parte:

Passo 5

Substituindo essas simplifica�es na integral:
integral 149 sec^2(theta) cdot 7 tan(theta) cdot 7 sec(theta) tan(theta) , dtheta
Simplificando os termos:
integral 149 sec^2(theta) cdot 7 tan(theta) cdot 7 sec(theta) tan(theta) , dtheta = integral 149 sec(theta) , dtheta
= 149 integral cos(theta) , dtheta

Passo 6

Agora, a integral está bem mais simples:
149 integral cos(theta) , dtheta = 149 sin(theta) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Mas a gente precisa voltar para a variável original sin(theta) = raizx^2 - 49x . Lembrando que fizemos , então podemos usar um triângulo retângulo para expressar em termos de .
Em um triângulo onde , a hipotenusa é e o cateto adjacente é . O cateto oposto, então, é .
Logo:

Resposta

Substituindo de volta, a integral fica:
149 sin(theta) + C = 149 cdot raizx^2 - 49x + C
Portanto, a solução da integral é:
raizx^2 - 4949x + C

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