Obtenha os seguintes desenvolvimentos dados, indicando, em cada caso, o domínio de convergência da série:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar o desenvolvimento da função seno, que está escrito como uma série infinita. A matéria envolvida aqui é séries de potências e convergência de séries. O que vamos precisar para resolver isso é entender como funcionam as séries de potências e aplicar um teste de convergência para descobrir em quais valores de essa série realmente funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de potências. É uma expressão da forma:
onde são os coeficientes da série e é o ponto em torno do qual a série está centrada. No nosso caso, a série está centrada em , então temos uma série de Taylor para a função seno.

Passo 3

Agora, para descobrir o domínio de convergência dessa série, ou seja, para quais valores de a série converge, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é muito útil para séries de potências e nos dá o raio de convergência.
O Teste da Razão diz que, dado uma série , calculamos:
Se , a série converge absolutamente. Se , a série diverge. E se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar esse teste à nossa série do seno:
Calculando :
Agora, aplicando o Teste da Razão:
Simplificando:
Como estamos interessados no valor absoluto, o sinal negativo não importa:

Passo 5

Agora, analisamos o limite:
Porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador conforme tende ao infinito. Como , o Teste da Razão nos diz que a série converge absolutamente para todos os valores de .

Resposta

A série do seno converge para todo número real . Ou seja, o domínio de convergência é .

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