Obtenha os seguintes desenvolvimentos dados, indicando, em cada caso, o domínio de convergência da série: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar o desenvolvimento da função seno, que está escrito como uma série infinita. A matéria envolvida aqui é séries de potências e convergência de séries. O que vamos precisar para resolver isso é entender como funcionam as séries de potências e aplicar um teste de convergência para descobrir em quais valores de essa série realmente funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de potências. É uma expressão da forma:
onde são os coeficientes da série e é o ponto em torno do qual a série está centrada. No nosso caso, a série está centrada em , então temos uma série de Taylor para a função seno.
Passo 3
Agora, para descobrir o domínio de convergência dessa série, ou seja, para quais valores de a série converge, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é muito útil para séries de potências e nos dá o raio de convergência.
O Teste da Razão diz que, dado uma série , calculamos:
Se , a série converge absolutamente. Se , a série diverge. E se , o teste é inconclusivo.
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (-1)^n+1 x^2n+3 / (2n+3)!(-1)^n x^2n+1 / (2n+1)! |
Agora, aplicando o Teste da Razão:
L = limn to infty | -x^2n+3 (2n+1)!x^2n+1 (2n+3)! | = limn to infty | -x^2(2n+3)(2n+2) |
Simplificando:
L = limn to infty x^2(2n+3)(2n+2)
Como estamos interessados no valor absoluto, o sinal negativo não importa:
Passo 5
Agora, analisamos o limite:
L = limn to infty x^24n^2 + 10n + 6 = 0
Porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador conforme tende ao infinito. Como , o Teste da Razão nos diz que a série converge absolutamente para todos os valores de .
Resposta
A série do seno converge para todo número real . Ou seja, o domínio de convergência é .