Um viscosímetro de Stormer consta essencialmente de dois cilindros concêntricos, um interior que gira com velocidade angular Omega, e um externo que permanece parado. A viscosidade é determinada medindo a velocidade de rotação do cilindro interno. Deduzir uma expressão para a distribuição de velocidades para esse tipo de equipamento, para o escoamento laminar de um fluido Newtoniano e incompressível. Sabendo-se que a distribuição da tensão de cisalhamento é dada por:
taur theta=-mu r dd r(vthetar)
e o torque é T= força x distância de aplicação, mostre como você calcularia a viscosidade.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um viscosímetro de Stormer, que é composto por dois cilindros que são concêntricos. O cilindro interno gira com uma velocidade angular , enquanto o externo permanece parado. Queremos encontrar uma expressão para a distribuição de velocidades do fluido entre esses cilindros, assumindo que o escoamento é laminar, o fluido é newtoniano e incompressível. Além disso, vamos usar a expressão da tensão de cisalhamento e o torque para calcular a viscosidade.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sistema. Temos dois cilindros:
  • Cilindro interno: Gira com velocidade angular .
  • Cilindro externo: Fica parado.
O fluido está entre eles, e estamos interessados em como a velocidade do fluido varia radialmente, ou seja, em função da distância do eixo dos cilindros.

Passo 3

Como o escoamento é laminar e o fluido é newtoniano, sabemos que a tensão de cisalhamento taurtheta = -mu r ddr(vthetar) está relacionada à taxa de variação da velocidade angular do fluido. A expressão dada na questão é:
Aqui:
  • é a viscosidade do fluido.
  • é a componente tangencial da velocidade do fluido em função de .

Passo 4

Nos sistemas de escoamento circular como este, sabemos que o torque T = força times distância aplicado pelo fluido pode ser relacionado com a tensão de cisalhamento. A expressão geral para o torque é:
çâ
No nosso caso, a força de cisalhamento é distribuída ao longo da superfície do cilindro interno. Então, vamos relacionar com a tensão de cisalhamento .

Passo 5

Vamos estabelecer as relações matemáticas. A força de cisalhamento em um anel radial infinitesimal é:
dF = taurtheta cdot 2pi r L dr
onde:
  • dT = dF cdot r = taurtheta cdot 2pi r^2 L dr é o comprimento dos cilindros.
  • é a área superficial do anel radial.
O torque infinitesimal devido a essa força é:

Passo 6

Integrando T = integralR^R+h taurtheta cdot 2pi r^2 L dr de T = taurtheta cdot 2pi R^2 L h (cilindro interno) até (cilindro externo, assumindo uma pequena altura ):
Como é pequeno, podemos simplificar para:

Passo 7

Agora, usando a expressão da tensão de cisalhamento:
taurtheta = -mu r ddr(vthetar)
Vamos rearranjar para encontrar ddr(vthetar) = -taurthetamu r :

Passo 8

Integrando ambos os lados para encontrar vthetar = -1mu integral taurthetar dr + C :
Onde é a constante de integração que será determinada pelas condições de contorno.

Passo 9

Aplicando as condições de contorno:
  1. No cilindro interno ( ): (já que ele está girando com velocidade ).
  2. No cilindro externo ( ): (pois está parado).
Usando essas condições, podemos resolver para a constante e obter a expressão para .

Passo 10

Finalmente, substituindo mu = T2pi L (Omega R^2) na expressão do torque e resolvendo para , obtemos a fórmula para a viscosidade:

Resposta

A viscosidade do fluido é dada por:
mu = T2pi L Omega R^2

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