Um viscosímetro de Stormer consta essencialmente de dois cilindros concêntricos, um interior que gira com velocidade angular
, e um externo que permanece parado. A viscosidade é determinada medindo a velocidade de rotação do cilindro interno. Deduzir uma expressão para a distribuição de velocidades para esse tipo de equipamento, para o escoamento laminar de um fluido Newtoniano e incompressível. Sabendo-se que a distribuição da tensão de cisalhamento é dada por:
e o torque é
força
distância de aplicação, mostre como você calcularia a viscosidade.
e o torque é
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um viscosímetro de Stormer, que é composto por dois cilindros que são concêntricos. O cilindro interno gira com uma velocidade angular
, enquanto o externo permanece parado. Queremos encontrar uma expressão para a distribuição de velocidades do fluido entre esses cilindros, assumindo que o escoamento é laminar, o fluido é newtoniano e incompressível. Além disso, vamos usar a expressão da tensão de cisalhamento e o torque para calcular a viscosidade.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sistema. Temos dois cilindros:
- Cilindro interno: Gira com velocidade angular
. - Cilindro externo: Fica parado.
O fluido está entre eles, e estamos interessados em como a velocidade do fluido varia radialmente, ou seja, em função da distância
do eixo dos cilindros.
Passo 3
Como o escoamento é laminar e o fluido é newtoniano, sabemos que a tensão de cisalhamento
está relacionada à taxa de variação da velocidade angular do fluido. A expressão dada na questão é:
Aqui:
-
é a viscosidade do fluido. -
é a componente tangencial da velocidade do fluido em função de .
Passo 4
Nos sistemas de escoamento circular como este, sabemos que o torque
aplicado pelo fluido pode ser relacionado com a tensão de cisalhamento. A expressão geral para o torque é:
No nosso caso, a força de cisalhamento é distribuída ao longo da superfície do cilindro interno. Então, vamos relacionar
com a tensão de cisalhamento
.
Passo 5
Vamos estabelecer as relações matemáticas. A força de cisalhamento em um anel radial infinitesimal é:
onde:
-
é o comprimento dos cilindros. -
é a área superficial do anel radial.
O torque infinitesimal
devido a essa força é:
Passo 6
Integrando
de
(cilindro interno) até
(cilindro externo, assumindo uma pequena altura
):
Como
é pequeno, podemos simplificar para:
Passo 7
Agora, usando a expressão da tensão de cisalhamento:
Vamos rearranjar para encontrar
:
Passo 8
Integrando ambos os lados para encontrar
:
Onde
é a constante de integração que será determinada pelas condições de contorno.
Passo 9
Aplicando as condições de contorno:
- No cilindro interno (
): (já que ele está girando com velocidade ). - No cilindro externo (
): (pois está parado).
Usando essas condições, podemos resolver para a constante
e obter a expressão para
.
Passo 10
Finalmente, substituindo
na expressão do torque
e resolvendo para
, obtemos a fórmula para a viscosidade:
Resposta
A viscosidade do fluido é dada por:
Exercícios relacionados
Seja
, a velocidade unidirecional de um fluido compressível, cuja a densidade varia da seguinte forma:
. Obtenha a expressão da variação da velocidade,
, com o tempo,
, sabendo-se que para
e
.
Um canal retangular transporta uma vazão de
e em uma certa seção a energia específica vale 4,5 m. Imediatamente a jusante desta seção deverá ser construído um degrau para provocar a formação de um ressalto hidráulico. Assumindo que ocorre escoamento crítico sobre o degrau, calcule a altura da soleira para que o ressalto se forme.
Considerando a forma na qual a equação foi apresentada o que você pode dizer sobre o campo de velocidades?
Prove que
. Utilize a decomposição da velocidade e concentração em relação à média.