Prove que se u perp(v-w) e v perp(w-u), então w perp(u-v).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de vetores! O enunciado nos pede para provar que, se o vetor u é perpendicular a (v - w) e o vetor v é perpendicular a (w - u), então o vetor w também é perpendicular a (u - v). Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar e as propriedades de vetores perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é zero. Ou seja, se a perp b, então a cdot b = 0.

Passo 3

De acordo com o enunciado, temos duas condições:
  1. u perp (v - w), então u cdot (v - w) = 0.
  2. v perp (w - u), então v cdot (w - u) = 0.

Passo 4

Vamos expandir essas equações usando a propriedade distributiva do produto escalar:
  1. u cdot v - u cdot w = 0.
  2. v cdot w - v cdot u = 0.

Passo 5

Observando a segunda equação, podemos reescrevê-la como:
v cdot w = v cdot u.

Passo 6

Agora, substituímos v cdot u da segunda equação na primeira:
v cdot u - u cdot w = 0.

Passo 7

Substituindo v cdot u por v cdot w, temos:
v cdot w - u cdot w = 0.

Passo 8

Fatorando w, obtemos:
(v - u) cdot w = 0.

Passo 9

Isso significa que w é perpendicular a (v - u), ou seja:
w perp (u - v).

Resposta

Portanto, provamos que w é perpendicular a (u - v).

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