Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz e sabemos que ela pode ser escrita como , onde é uma matriz diagonal com elementos , e , e . O conteúdo aqui envolve matrizes inversíveis, diagonalização e autovetores. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar os autovetores de e como eles se relacionam com as colunas da matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se , então as colunas de são os autovetores de correspondentes aos autovalores na diagonal de . Ou seja, cada coluna de satisfaz , onde é um autovalor de e é o autovetor correspondente.
Passo 3
Agora, vamos identificar os autovalores de . Sabemos que a diagonal de contém os autovalores: , e , com . Precisamos encontrar os autovetores correspondentes a esses autovalores. Nosso foco é a terceira coluna de , que está associada ao autovalor .
Passo 4
Para encontrar o autovetor correspondente a , resolvemos a equação , onde é a matriz identidade. Isso nos dará um sistema de equações lineares que podemos resolver para encontrar os componentes de .
Passo 5
Vamos montar a matriz A - bI = -9 - b & -8 & 4 7 & 6 - b & -4 -1 & 1 & 5 - b :
Para que exista solução não trivial, o determinante dessa matriz deve ser zero, o que nos dará o valor de . Entretanto, como estamos mais interessados em identificar a forma do autovetor, podemos proceder assumindo que já temos o valor de .
Passo 6
Ao resolver o sistema , encontramos relações entre os componentes de . Supondo que (baseado nas alternativas fornecidas), podemos expressar e em termos de .
Passo 7
Após resolver as equações, percebemos que o terceiro componente é proporcional a . Dependendo do valor de , esse fator de proporcionalidade pode ser 0, 1, 2 ou 3, conforme as opções apresentadas.
Passo 8
Analisando as alternativas, verificamos que a terceira coluna de 2 * 1 é múltipla de , considerando que .