Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas
(a) Se u perp v e v perp w então u perp w.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação diz: "Se u perp v e v perp w, então u perp w". Estamos trabalhando com vetores e perpendicularidade, que envolve o produto escalar. Para resolver, vamos verificar se essa afirmação é sempre verdadeira ou se há casos em que ela não se sustenta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa u perp v. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles é zero:
u cdot v = 0
Isso significa que o ângulo entre eles é de 90 graus.

Passo 3

Agora, queremos saber se, dado que u perp v e v perp w, necessariamente u perp w. Vamos testar isso com um exemplo.

Passo 4

Considere os vetores no plano bidimensional:
u = 1 0 , v = 0 1 , w = 1 0
Aqui, u perp v porque:
u cdot v = (1)(0) + (0)(1) = 0
E v perp w porque:
v cdot w = (0)(1) + (1)(0) = 0

Passo 5

No entanto, vamos verificar se u perp w:
u cdot w = (1)(1) + (0)(0) = 1 neq 0
Isso mostra que u e w não são perpendiculares.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é:
u = 1 0 , v = 0 1 , w = 1 0
onde u perp v e v perp w, mas .

Exercícios relacionados

A matriz que representa a reflexão através do plano 2 x+6 y+2 z=0 em R^3 pode ser obtida pelo seguinte cálculo:
(A) [rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]^-1[rrr1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]
(B) [rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]^-1[rrr1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]
© [rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2][lll1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]^-1
(D) [rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2][rrr1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]^-1
(E) [rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]-1 [lll1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]
(F) [rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2][rrr1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]^-1
(G) Não sei
Verifique em cada caso a seguir, se o conjunto S é um subespaço vetorial do espaço vetorial V. Seja V=R^2 e S=(x, y) in R^2 mid x>0.
Sabemos que existe P inversível tal que:
[rrr -9 & -8 & 4 7 & 6 & -4 -1 & 1 & 5 ]=P[rrr -2 & 0 & 0 0 & a & 0 0 & 0 & b ] P^-1 com a
A 3a coluna da matriz P é múltipla de:
(A) [l2 * 0]
(B) [l2 * 1]
© [l2 * 2]
(D) [l2 * 3]
(E) Não sei
Prove que se u perp(v-w) e v perp(w-u), então w perp(u-v).