Prove que, (v-u) times(w-u)=u times v+v times w+w times u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que o produto vetorial de com é igual à soma dos produtos vetoriais , e . Para isso, vamos usar as propriedades do produto vetorial, como a distributividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial é distributivo em relação à soma de vetores. Ou seja, . Vamos aplicar isso na expressão .

Passo 3

Expandindo a expressão usando a distributividade:
(v - u) times (w - u) = v times w - v times u - u times w + u times u

Passo 4

Sabemos que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é o vetor nulo, ou seja, v times w - v times u - u times w . Portanto, a última parte da expressão desaparece:

Passo 5

Agora, vamos reorganizar os termos para deixar mais claro:
u times v + v times w + w times u
Note que e , usando a propriedade de que .

Resposta

Portanto, provamos que:
(v - u) times (w - u) = u times v + v times w + w times u

Exercícios relacionados