Encontre a equação do plano definido pelos pontos A(1,2,3), B(-1,-1,2) e C(0,-2,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano que passa pelos três pontos , e . Aqui, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, pra achar a equação do plano, a gente precisa de um vetor normal ao plano. Para isso, vamos formar dois vetores que estão no plano usando os pontos dados. Vamos calcular os vetores AB = B - A = (-1-1, -1-2, 2-3) = (-2, -3, -1) e AC = C - A = (0-1, -2-2, 3-3) = (-1, -4, 0) .

Passo 3

Agora que temos os vetores n = AB times AC e n = i & j & k -2 & -3 & -1 -1 & -4 & 0 = i((-3)(0) - (-1)(-4)) - j((-2)(0) - (-1)(-1)) + k((-2)(-4) - (-3)(-1)) , vamos encontrar o vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores originais.
n = i(0 - 4) - j(0 - 1) + k(8 - 3) = -4i + j + 5k
Calculando:
Então, o vetor normal é .

Passo 4

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto -4(x - 1) + 1(y - 2) + 5(z - 3) = 0 , podemos usar a forma geral da equação do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e é um ponto no plano.
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
-4x + 4 + y - 2 + 5z - 15 = 0
-4x + y + 5z - 13 = 0
Podemos também escrever de outra forma:
4x - y - 5z + 13 = 0

Resposta

A equação do plano é .

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