Encontre a equação do plano definido pelos pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano que passa pelos três pontos , e . Aqui, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, pra achar a equação do plano, a gente precisa de um vetor normal ao plano. Para isso, vamos formar dois vetores que estão no plano usando os pontos dados. Vamos calcular os vetores e .

Passo 3

Agora que temos os vetores e , vamos encontrar o vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores originais.
Calculando:
Então, o vetor normal é .

Passo 4

Com o vetor normal e sabendo que o plano passa pelo ponto , podemos usar a forma geral da equação do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e é um ponto no plano.
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
Podemos também escrever de outra forma:

Resposta

A equação do plano é .

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Prove que, .
Determine se existem e tais que:
(UNITAU) A expressão é igual a:
Sejam e , determine as coordenadas de: