Use a Regra de Cramer, para resolver o sistema linear
Passo 1
Vamos resolver esse sistema linear usando a Regra de Cramer. A Regra de Cramer é uma técnica que utiliza determinantes para encontrar as soluções de sistemas de equações lineares. Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz dos coeficientes e os determinantes das matrizes que resultam da substituição de cada coluna pelos termos constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema:
E o vetor dos termos constantes:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante da matriz
det(A) = 2 cdot -1 & 0 4 & 3 - 5 cdot -1 & 0 2 & 3 + 5 cdot -1 & -1 2 & 4 , que chamaremos de
-1 & 0 4 & 3 = (-1)(3) - (0)(4) = -3 :
Calculando cada determinante menor:
Substituindo na expressão de
:
Passo 4
Para encontrar
Ax = 1 & 5 & 5 2 & -1 & 0 -1 & 4 & 3 , substituímos a primeira coluna da matriz
det(Ax) = 1 cdot -1 & 0 4 & 3 - 5 cdot 2 & 0 -1 & 3 + 5 cdot 2 & -1 -1 & 4 pelos termos constantes, formando a matriz
-1 & 0 4 & 3 = (-1)(3) - (0)(4) = -3 :
Calculamos o determinante de
2 & -1 -1 & 4 = (2)(4) - (-1)(-1) = 8 - 1 = 7 , chamado
det(Ax) = 1(-3) - 5(6) + 5(7) = -3 - 30 + 35 = 2 :
Calculando cada determinante menor:
Substituindo na expressão de
:
Passo 5
Aplicando a Regra de Cramer, calculamos
x = det(Ax)det(A) = 2-1 = -2 :
Passo 6
Para encontrar
Ay = 2 & 1 & 5 -1 & 2 & 0 2 & -1 & 3 , substituímos a segunda coluna da matriz
det(Ay) = 2 cdot 2 & 0 -1 & 3 - 1 cdot -1 & 0 2 & 3 + 5 cdot -1 & 2 2 & -1 pelos termos constantes, formando a matriz
2 & 0 -1 & 3 = (2)(3) - (0)(-1) = 6 :
Calculamos o determinante de
-1 & 2 2 & -1 = (-1)(-1) - (2)(2) = 1 - 4 = -3 , chamado
det(Ay) = 2(6) - 1(-3) + 5(-3) = 12 + 3 - 15 = 0 :
Calculando cada determinante menor:
Substituindo na expressão de
:
Então,
Passo 7
Por fim, para encontrar
Az = 2 & 5 & 1 -1 & -1 & 2 2 & 4 & -1 , substituímos a terceira coluna da matriz
det(Az) = 2 cdot -1 & 2 4 & -1 - 5 cdot -1 & 2 2 & -1 + 1 cdot -1 & -1 2 & 4 pelos termos constantes, formando a matriz
-1 & 2 4 & -1 = (-1)(-1) - (2)(4) = 1 - 8 = -7 :
Calculamos o determinante de
-1 & -1 2 & 4 = (-1)(4) - (-1)(2) = -4 + 2 = -2 , chamado
det(Az) = 2(-7) - 5(-3) + 1(-2) = -14 + 15 - 2 = -1 :
Calculando cada determinante menor:
Substituindo na expressão de
:
Então,
Resposta
A solução do sistema é
,
e
.
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V para provar que, se
v in V e
n in N então
n cdot v=v+ldots+v(n parcelas
) .
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Qual seria a fórmula para um vetor no espaço tridimensional?
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Seu=(u1, u2, u3) e
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Se
ou, em notação de determinante,
Calcule o produto vetorial entre os vetores:
u=(3,2,-1) e
v=(0,2,-3) .
Verifique se as afirmativas abaixo são falsas ou verdadeiras, em caso de falso, justifique sua resposta.
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