Use a Regra de Cramer, para resolver o sistema linear
[c 2 x+5 y+5 z=1 -x-y=2 2 x+4 y+3 z=-1 ]

Passo 1

Vamos resolver esse sistema linear usando a Regra de Cramer. A Regra de Cramer é uma técnica que utiliza determinantes para encontrar as soluções de sistemas de equações lineares. Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz dos coeficientes e os determinantes das matrizes que resultam da substituição de cada coluna pelos termos constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 2 & 5 & 5 -1 & -1 & 0 2 & 4 & 3
E o vetor dos termos constantes:
b = 1 2 -1

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 2 cdot -1 & 0 4 & 3 - 5 cdot -1 & 0 2 & 3 + 5 cdot -1 & -1 2 & 4 , que chamaremos de -1 & 0 4 & 3 = (-1)(3) - (0)(4) = -3 :
-1 & 0 2 & 3 = (-1)(3) - (0)(2) = -3
Calculando cada determinante menor:
-1 & -1 2 & 4 = (-1)(4) - (-1)(2) = -4 + 2 = -2
det(A) = 2(-3) - 5(-3) + 5(-2) = -6 + 15 - 10 = -1
Substituindo na expressão de :

Passo 4

Para encontrar Ax = 1 & 5 & 5 2 & -1 & 0 -1 & 4 & 3 , substituímos a primeira coluna da matriz det(Ax) = 1 cdot -1 & 0 4 & 3 - 5 cdot 2 & 0 -1 & 3 + 5 cdot 2 & -1 -1 & 4 pelos termos constantes, formando a matriz -1 & 0 4 & 3 = (-1)(3) - (0)(4) = -3 :
2 & 0 -1 & 3 = (2)(3) - (0)(-1) = 6
Calculamos o determinante de 2 & -1 -1 & 4 = (2)(4) - (-1)(-1) = 8 - 1 = 7 , chamado det(Ax) = 1(-3) - 5(6) + 5(7) = -3 - 30 + 35 = 2 :
Calculando cada determinante menor:
Substituindo na expressão de :

Passo 5

Aplicando a Regra de Cramer, calculamos x = det(Ax)det(A) = 2-1 = -2 :

Passo 6

Para encontrar Ay = 2 & 1 & 5 -1 & 2 & 0 2 & -1 & 3 , substituímos a segunda coluna da matriz det(Ay) = 2 cdot 2 & 0 -1 & 3 - 1 cdot -1 & 0 2 & 3 + 5 cdot -1 & 2 2 & -1 pelos termos constantes, formando a matriz 2 & 0 -1 & 3 = (2)(3) - (0)(-1) = 6 :
-1 & 0 2 & 3 = (-1)(3) - (0)(2) = -3
Calculamos o determinante de -1 & 2 2 & -1 = (-1)(-1) - (2)(2) = 1 - 4 = -3 , chamado det(Ay) = 2(6) - 1(-3) + 5(-3) = 12 + 3 - 15 = 0 :
y = det(Ay)det(A) = 0-1 = 0
Calculando cada determinante menor:
Substituindo na expressão de :
Então,

Passo 7

Por fim, para encontrar Az = 2 & 5 & 1 -1 & -1 & 2 2 & 4 & -1 , substituímos a terceira coluna da matriz det(Az) = 2 cdot -1 & 2 4 & -1 - 5 cdot -1 & 2 2 & -1 + 1 cdot -1 & -1 2 & 4 pelos termos constantes, formando a matriz -1 & 2 4 & -1 = (-1)(-1) - (2)(4) = 1 - 8 = -7 :
-1 & 2 2 & -1 = (-1)(-1) - (2)(2) = 1 - 4 = -3
Calculamos o determinante de -1 & -1 2 & 4 = (-1)(4) - (-1)(2) = -4 + 2 = -2 , chamado det(Az) = 2(-7) - 5(-3) + 1(-2) = -14 + 15 - 2 = -1 :
z = det(Az)det(A) = -1-1 = 1
Calculando cada determinante menor:
Substituindo na expressão de :
Então,

Resposta

A solução do sistema é , e .

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