Utilize os axiomas do espaço vetorial para provar que, se e então parcelas .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar os axiomas de um espaço vetorial para provar que, se você tem um vetor no espaço vetorial e um número natural , então multiplicar por é o mesmo que somar consigo mesmo vezes. Ou seja, (com parcelas). Para resolver isso, vamos precisar entender os axiomas que definem um espaço vetorial, especialmente aqueles relacionados à adição de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa multiplicar um vetor por um número natural. No contexto dos espaços vetoriais, multiplicação por escalar é uma operação que pega um número (escalar) e um vetor e retorna outro vetor. Quando o escalar é um número natural , a ideia é que represente somado a si mesmo vezes.
Passo 3
Vamos começar verificando o caso mais simples, onde . Segundo os axiomas dos espaços vetoriais, multiplicar um vetor por 1 deve retornar o próprio vetor. Ou seja:
Isso já está no acordo com a nossa afirmação, pois somar uma vez é exatamente .
Passo 4
Agora, suponha que a afirmação seja verdadeira para algum número natural . Ou seja, suponha que:
Esse é o nosso passo de indução. Vamos usar esse suposto para provar que a afirmação também vale para .
Passo 5
Consideremos . Pela definição de multiplicação por escalar, podemos escrever:
Aqui, usamos o axioma distributivo, que nos permite distribuir a multiplicação sobre a adição.
Passo 6
Agora, substituímos pela nossa hipótese de indução:
Isso resulta em somado consigo mesmo vezes, que é exatamente o que queríamos provar.
Passo 7
Concluímos, então, por indução matemática, que para todo número natural , temos:
Resposta
Portanto, usando os axiomas dos espaços vetoriais e a indução matemática, provamos que para todo e , vale que: