Utilize os axiomas do espaço vetorial V para provar que, se v in V e n in N então n cdot v=v+ldots+v(n parcelas ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar os axiomas de um espaço vetorial para provar que, se você tem um vetor no espaço vetorial e um número natural , então multiplicar por é o mesmo que somar consigo mesmo vezes. Ou seja, (com parcelas). Para resolver isso, vamos precisar entender os axiomas que definem um espaço vetorial, especialmente aqueles relacionados à adição de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa multiplicar um vetor por um número natural. No contexto dos espaços vetoriais, multiplicação por escalar é uma operação que pega um número (escalar) e um vetor e retorna outro vetor. Quando o escalar é um número natural , a ideia é que represente somado a si mesmo vezes.

Passo 3

Vamos começar verificando o caso mais simples, onde 1 cdot v = v . Segundo os axiomas dos espaços vetoriais, multiplicar um vetor por 1 deve retornar o próprio vetor. Ou seja:
Isso já está no acordo com a nossa afirmação, pois somar uma vez é exatamente .

Passo 4

Agora, suponha que a afirmação seja verdadeira para algum número natural k cdot v = v + v + ldots + v (k parcelas) . Ou seja, suponha que:
Esse é o nosso passo de indução. Vamos usar esse suposto para provar que a afirmação também vale para .

Passo 5

Consideremos (k + 1) cdot v = k cdot v + v . Pela definição de multiplicação por escalar, podemos escrever:
Aqui, usamos o axioma distributivo, que nos permite distribuir a multiplicação sobre a adição.

Passo 6

Agora, substituímos k cdot v + v = (v + v + ldots + v) + v (k parcelas + 1 parcela) pela nossa hipótese de indução:
Isso resulta em somado consigo mesmo vezes, que é exatamente o que queríamos provar.

Passo 7

Concluímos, então, por indução matemática, que para todo número natural n cdot v = v + v + ldots + v (n parcelas) , temos:

Resposta

Portanto, usando os axiomas dos espaços vetoriais e a indução matemática, provamos que para todo n cdot v = v + v + ldots + v (n parcelas) e , vale que:

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