Prove que
é um campo conservativo (b) Encontre um potencial correspondente a essa força.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de força
dado por:
O nosso objetivo é mostrar que esse campo é conservativo e encontrar uma função potencial para ele. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo conservativo? É um campo de força que pode ser derivado de uma função potencial
, ou seja,
. Uma propriedade chave de campos conservativos é que o rotacional (ou curl) deles é zero:
Então, para provar que
é conservativo, vamos calcular o rotacional dele e verificar se dá zero.
Passo 3
Vamos calcular cada componente do rotacional
. Lembrando que:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 4
Primeira componente
:
Então,
Passo 5
Segunda componente
:
Então,
Passo 6
Terceira componente
:
Então,
Passo 7
Como todas as componentes do rotacional
são zero, concluímos que:
Portanto, o campo
é conservativo.
Passo 8
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar
.
Passo 9
Vamos começar integrando a primeira equação em relação a
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
, já que a derivada em relação a
já foi integrada.
Passo 10
Agora, vamos usar a segunda equação:
Derivando nossa expressão para
:
Igualando às duas expressões:
Isso implica que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 11
Agora, substituímos
na expressão de
:
Usamos a terceira equação:
Derivando
:
Igualando às duas expressões:
Então:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante.
Passo 12
Finalmente, substituímos
de volta na expressão de
:
Podemos ignorar a constante
na função potencial, então temos:
Resposta
A função potencial correspondente é: