Prove que
F=widehatx(y^2 cos x+z^3)+widehaty(2 y sin x-4)+widehatz(3 x z^2+2)
é um campo conservativo (b) Encontre um potencial correspondente a essa força.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de força F = widehatx(y^2 cos x + z^3) + widehaty(2 y sin x - 4) + widehatz(3 x z^2 + 2) dado por:
O nosso objetivo é mostrar que esse campo é conservativo e encontrar uma função potencial para ele. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo conservativo? É um campo de força que pode ser derivado de uma função potencial nabla times F = 0 , ou seja, . Uma propriedade chave de campos conservativos é que o rotacional (ou curl) deles é zero:
Então, para provar que é conservativo, vamos calcular o rotacional dele e verificar se dá zero.

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) widehatx + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) widehaty + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) widehatz . Lembrando que:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 4

Primeira componente partial Fzpartial y = partialpartial y(3x z^2 + 2) = 0 :
partial Fypartial z = partialpartial z(2 y sin x - 4) = 0
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = 0 - 0 = 0
Então,

Passo 5

Segunda componente partial Fxpartial z = partialpartial z(y^2 cos x + z^3) = 3z^2 :
partial Fzpartial x = partialpartial x(3x z^2 + 2) = 3z^2
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = 3z^2 - 3z^2 = 0
Então,

Passo 6

Terceira componente partial Fypartial x = partialpartial x(2 y sin x - 4) = 2 y cos x :
partial Fxpartial y = partialpartial y(y^2 cos x + z^3) = 2y cos x
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = 2 y cos x - 2 y cos x = 0
Então,

Passo 7

Como todas as componentes do rotacional nabla times F = 0 são zero, concluímos que:
Portanto, o campo é conservativo.

Passo 8

Agora que sabemos que partial phipartial x = y^2 cos x + z^3 é conservativo, vamos encontrar a função potencial partial phipartial y = 2 y sin x - 4 tal que partial phipartial z = 3 x z^2 + 2 . Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar .

Passo 9

Vamos começar integrando a primeira equação em relação a phi = integral (y^2 cos x + z^3) dx = y^2 sin x + z^3 x + g(y, z) :
Aqui, é uma função que pode depender de e , já que a derivada em relação a já foi integrada.

Passo 10

Agora, vamos usar a segunda equação:
partial phipartial y = 2 y sin x - 4
Derivando nossa expressão para partial phipartial y = 2 y sin x + partial gpartial y :
2 y sin x + partial gpartial y = 2 y sin x - 4
Igualando às duas expressões:
partial gpartial y = -4
Isso implica que:
g(y, z) = -4 y + h(z)
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 11

Agora, substituímos phi = y^2 sin x + z^3 x - 4 y + h(z) na expressão de partial phipartial z = 3 x z^2 + 2 :
partial phipartial z = 3 z^2 x + 3 z^2 x + h'(z) = 3 x z^2 + h'(z)
Usamos a terceira equação:
3 x z^2 + h'(z) = 3 x z^2 + 2
Derivando h'(z) = 2 :
h(z) = 2 z + C
Igualando às duas expressões:
Então:
Integrando em relação a :
Onde é uma constante.

Passo 12

Finalmente, substituímos phi = y^2 sin x + z^3 x - 4 y + 2 z + C de volta na expressão de :
Podemos ignorar a constante na função potencial, então temos:

Resposta

A função potencial correspondente é:
phi = y^2 sin x + x z^3 - 4 y + 2 z

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