Prove que
é um campo conservativo (b) Encontre um potencial correspondente a essa força.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de força
dado por:
O nosso objetivo é mostrar que esse campo é conservativo e encontrar uma função potencial para ele. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo conservativo? É um campo de força que pode ser derivado de uma função potencial
, ou seja,
. Uma propriedade chave de campos conservativos é que o rotacional (ou curl) deles é zero:
Então, para provar que
é conservativo, vamos calcular o rotacional dele e verificar se dá zero.
Passo 3
Vamos calcular cada componente do rotacional
. Lembrando que:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 4
Primeira componente
:
Então,
Passo 5
Segunda componente
:
Então,
Passo 6
Terceira componente
:
Então,
Passo 7
Como todas as componentes do rotacional
são zero, concluímos que:
Portanto, o campo
é conservativo.
Passo 8
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar
.
Passo 9
Vamos começar integrando a primeira equação em relação a
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
, já que a derivada em relação a
já foi integrada.
Passo 10
Agora, vamos usar a segunda equação:
Derivando nossa expressão para
:
Igualando às duas expressões:
Isso implica que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 11
Agora, substituímos
na expressão de
:
Usamos a terceira equação:
Derivando
:
Igualando às duas expressões:
Então:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante.
Passo 12
Finalmente, substituímos
de volta na expressão de
:
Podemos ignorar a constante
na função potencial, então temos:
Resposta
A função potencial correspondente é:
Exercícios relacionados
Considere as seguintes afirmações a respeito dos processos de eletrização:
I.Na eletrização por contato, os corpos ficam eletrizados com cargas de mesmo sinal.
II.Na eletrização por atrito, os dois corpos ficam carregados com cargas iguais, porém de sinais contrários.
III. No processo de indução eletrostática, o corpo induzido se eletrizará sempre com cargas de sinal contrário às do indutor.
Com a relação as três afirmativas acima, podemos dizer que:
a)Somente II e III são verdadeiras.
b)I, Il e III são verdadeiras.
c)Somente I e III são verdadeiras.
d)Somente l é verdadeira.
e)Somente ll é verdadeira.
I.Na eletrização por contato, os corpos ficam eletrizados com cargas de mesmo sinal.
II.Na eletrização por atrito, os dois corpos ficam carregados com cargas iguais, porém de sinais contrários.
III. No processo de indução eletrostática, o corpo induzido se eletrizará sempre com cargas de sinal contrário às do indutor.
Com a relação as três afirmativas acima, podemos dizer que:
a)Somente II e III são verdadeiras.
b)I, Il e III são verdadeiras.
c)Somente I e III são verdadeiras.
d)Somente l é verdadeira.
e)Somente ll é verdadeira.
São três os processos de eletrização: por atrito, por contato e por indução. Considere as seguintes afirmativas:
I. Na eletrização por atrito, além de adquirirem cargas elétricas de sinais opostos, os corpos apresentam quantidades de cargas elétricas de mesmo valor absoluto.
II. Na eletrização por atrito, as substâncias podem ser distribuídas numa sequência, denominada série triboelétrica, de acordo com o sinal da carga que adquirem ao serem atritadas umas com as outras.
III. Tanto nos processo de eletrização por contato, quanto no processo de eletrização por indução, um dos corpos deve, inicialmente, estar carregado eletricamente.
IV. Tanto nos processo de eletrização por contato, quanto no processo de eletrização por indução, torna-se necessário que um dos corpos seja ligado temporariamente a um aterramento.
V. Nos três processos de eletrização, torna-se necessário manter, temporariamente, um contato direto entre os corpos.
Assinale a alternativa correta:
A) Somente as afirmativas I, II e III estão corretas.
B) Somente as afirmativas I, III e V estão corretas.
C) Somente as afirmativas II, III e IV estão corretas.
D) Somente as afirmativas II, III e V estão corretas.
E) Somente as afirmativas III, IV e V estão corretas.
I. Na eletrização por atrito, além de adquirirem cargas elétricas de sinais opostos, os corpos apresentam quantidades de cargas elétricas de mesmo valor absoluto.
II. Na eletrização por atrito, as substâncias podem ser distribuídas numa sequência, denominada série triboelétrica, de acordo com o sinal da carga que adquirem ao serem atritadas umas com as outras.
III. Tanto nos processo de eletrização por contato, quanto no processo de eletrização por indução, um dos corpos deve, inicialmente, estar carregado eletricamente.
IV. Tanto nos processo de eletrização por contato, quanto no processo de eletrização por indução, torna-se necessário que um dos corpos seja ligado temporariamente a um aterramento.
V. Nos três processos de eletrização, torna-se necessário manter, temporariamente, um contato direto entre os corpos.
Assinale a alternativa correta:
A) Somente as afirmativas I, II e III estão corretas.
B) Somente as afirmativas I, III e V estão corretas.
C) Somente as afirmativas II, III e IV estão corretas.
D) Somente as afirmativas II, III e V estão corretas.
E) Somente as afirmativas III, IV e V estão corretas.
Numa atividade experimental no Laboratório de Eletricidade, a professora usando uma luva de material isolante, coloca duas esferas metálicas,
e
, com raios
e cargas
e
, em contato. Após atingirem o equilíbrio eletrostático, as novas cargas das esferas metálicas
e
passam a valer, respectivamente:
a)
b)
c) e -Q/2
d)
e) e
a)
b)
c)
d)
e)
Sabendo que a carga elementar é
, qual a quantidade de elétrons existentes em uma carga elétrica de
?
A) elétrons
B) elétrons
C) elétrons
D) elétrons
E) 0 elétrons
A)
B)
C)
D)
E) 0 elétrons