Próximo à borda de um telhado de um prédio de 10 m de altura, uma pessoa chuta uma bola de massa m=500 g, com velocidade inicial de 12 m / s a um ângulo de 30^circ.acima da horizontal. Desprezando-se a resistência do ar encontre: B) a velocidade da bola imediatamente antes de tocar no solo.

Passo 1

Então, temos um exercício de cinemática que envolve o lançamento de um projétil. A situação é a seguinte: uma pessoa chuta uma bola de 500 gramas com uma velocidade inicial de 12 m/s, fazendo um ângulo de 30° acima da horizontal, a partir de um telhado de 10 metros de altura. Queremos encontrar a velocidade da bola imediatamente antes de ela tocar o solo, desconsiderando a resistência do ar. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações do movimento uniformemente variado e a conservação da energia.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a velocidade inicial nos componentes horizontal e vertical. Isso é importante porque cada componente se comporta de forma diferente no movimento.
A componente horizontal ( v0x) é dada por:
v0x = v0 cdot cos(theta)
E a componente vertical inicial ( v0y) é:
v0y = v0 cdot sin(theta)
Onde:
  • v0 = 12 , m/s é a velocidade inicial
  • theta = 30° é o ângulo de lançamento
Calculando:
v0x = 12 cdot cos(30°) approx 12 cdot 0,8660 approx 10,392 , m/s
v0y = 12 cdot sin(30°) = 12 cdot 0,5 = 6 , m/s

Passo 3

Agora, vamos determinar o tempo que a bola leva para atingir o solo. Para isso, usamos a equação do movimento vertical, considerando que a posição final ( y) será -10 m (já que desce 10 metros) e a velocidade inicial vertical ( v0y) é 6 m/s para cima.
A equação da posição vertical é:
y = v0y cdot t + 12 a cdot t^2
Onde:
  • y = -10 , m (posição final em relação ao ponto de partida)
  • a = -9,8 , m/s^2 (aceleração devido à gravidade, negativa porque é para baixo)
Substituindo os valores:
-10 = 6t + 12 (-9,8) t^2
-10 = 6t - 4,9 t^2
Arrumando a equação:
4,9 t^2 - 6t - 10 = 0
Resolvendo essa equação quadrática para t, usando a fórmula de Bhaskara:
t = 6 pm raiz(-6)^2 - 4 cdot 4,9 cdot (-10)2 cdot 4,9
t = 6 pm raiz36 + 1969,8
t = 6 pm raiz2329,8
t = 6 pm 15,239,8
Desconsideramos a solução negativa, então:
t approx 21,239,8 approx 2,17 , s

Passo 4

Com o tempo de voo, podemos agora encontrar a velocidade vertical final ( vfy) da bola antes de tocar o solo. Usamos a seguinte equação:
vfy = v0y + a cdot t
Substituindo os valores:
vfy = 6 + (-9,8) cdot 2,17
vfy = 6 - 21,266 approx -15,266 , m/s
O sinal negativo indica que a velocidade está para baixo.

Passo 5

Finalmente, para encontrar a velocidade total da bola antes de tocar o solo, combinamos os componentes horizontal e vertical usando o teorema de Pitágoras:
vf = raizvfx^2 + vfy^2
Onde:
  • vfx = v0x = 10,392 , m/s
  • vfy = -15,266 , m/s (vamos considerar o módulo)
Calculando:
vf = raiz(10,392)^2 + (15,266)^2 approx raiz108 + 232 approx raiz340 approx 18,44 , m/s

Resposta

A velocidade da bola imediatamente antes de tocar no solo é aproximadamente 18,44 m/s.

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