Psi(x, t)=A[cos (pi xa) e^-i E1 t / hbar+sen(2 pi xa) e^-i E2 t / hbar] En=n^2 pi^2 hbar^22 m a^2
a) Qual é o valor médio da energia do sistema?
b) Qual é a probabilidade de medirmos o valor de energia E=pi^2 hbar^22 m a^2 ?
c) Qual é a probabilidade de medirmos o valor de energia E=4 pi^2 hbar^22 m a^2 ?
d) Qual é a probabilidade de medirmos o valor de energia E=9 pi^2 hbar^22 m a^2 ?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede na letra (a). Temos uma função de onda Psi(x, t) que é uma combinação de dois estados de energia diferentes. O conteúdo principal aqui é a Mecânica Quântica, mais especificamente, o cálculo do valor médio da energia de um sistema quântico. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o valor esperado da energia usando a função de onda fornecida.

Passo 2

O valor médio da energia $ \langle E \rangle $ de um sistema quântico é dado pela expectativa do operador Hamiltoniano. No caso de uma combinação de estados estacionários, o valor médio é a soma das energias de cada estado ponderadas pelos seus coeficientes de probabilidade.

Passo 3

Observando a função de onda:
Psi(x, t) = A[cos(pi xa) e^-i E1 t / hbar + sin(2 pi xa) e^-i E2 t / hbar]
Podemos identificar que temos dois estados de energia: E1 e E2, com coeficientes cos(pi xa) e sin(2 pi xa), respectivamente.

Passo 4

Primeiro, precisamos normalizar a função de onda para encontrar o valor de A. A condição de normalização é:
integral0^a |Psi(x, t)|^2 dx = 1
Calculando:
|Psi(x, t)|^2 = |A|^2 [cos^2(pi xa) + sin^2(2 pi xa)]
Integrando:
|A|^2 (a2 + a2) = |A|^2 a = 1 Rightarrow |A|^2 = 1a

Passo 5

Agora, calculamos o valor médio da energia:
lang<= E rang<= = |A|^2 (E1 + E2)
Substituindo $ |A|^2 = \frac{1}{a} $:
|A|^2 = 1a

Passo 6

Usando a expressão para En:
En = n^2 pi^2 hbar^22 m a^2
Temos:
E1 = pi^2 hbar^22 m a^2 e E2 = 4 pi^2 hbar^22 m a^2

Passo 7

Substituindo E1 e E2 na expressão de $ \langle E \rangle $:
lang<= E rang<=

Passo 8

Agora, vamos para a letra (b). A questão pede a probabilidade de medir uma energia específica E = pi^2 hbar^22 m a^2, que corresponde a E1. O conteúdo aqui envolve a interpretação probabilística das funções de onda na Mecânica Quântica.

Passo 9

A probabilidade de medir uma energia específica em um estado quântico é dada pelo quadrado do coeficiente associado a esse estado na função de onda normalizada.

Passo 10

Na nossa função de onda normalizada:
Psi(x, t) = 1raiza[cos(pi xa) e^-i E1 t / hbar + sin(2 pi xa) e^-i E2 t / hbar]
O coeficiente do estado com energia E1 é 1raizacos(pi xa).

Passo 11

No entanto, para calcular a probabilidade, precisamos considerar o módulo ao quadrado do coeficiente. Mas como o estado está expresso em funções ortogonais, a probabilidade é o quadrado do coeficiente multiplicado pelo valor médio da função.
Portanto:
P(E1) = |1raiza|^2 = 1a

Passo 12

Para a letra ©, a questão solicita a probabilidade de medir a energia E = 4 pi^2 hbar^22 m a^2, que corresponde a E2. Vamos aplicar o mesmo raciocínio da parte anterior.

Passo 13

A probabilidade de medir E2 é o quadrado do coeficiente associado a esse estado na função de onda normalizada.

Passo 14

Observando a função de onda normalizada:
Psi(x, t) = 1raiza[cos(pi xa) e^-i E1 t / hbar + sin(2 pi xa) e^-i E2 t / hbar]
O coeficiente do estado com energia E2 é 1raizasin(2 pi xa).

Passo 15

Calculando a probabilidade:
P(E2) = |1raiza|^2 = 1a

Passo 16

Finalmente, na letra (d), queremos a probabilidade de medir E = 9 pi^2 hbar^22 m a^2. Observando as energias disponíveis na função de onda, vamos verificar se essa energia está presente.

Passo 17

Comparando com as energias na função de onda:
En = n^2 pi^2 hbar^22 m a^2
Para n=3:
E3 = 9 pi^2 hbar^22 m a^2

Passo 18

No entanto, a função de onda fornecida é uma combinação apenas dos estados n=1 e n=2. Não há componente correspondente a n=3, ou seja, E3 não está presente na função de onda.

Passo 19

Logo, a probabilidade de medir E3 é zero, já que não há presença desse estado na superposição.

Resposta

A probabilidade de medir a energia E = 9 pi^2 hbar^22 m a^2 é 0.

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