a) Qual é o valor médio da energia do sistema?
b) Qual é a probabilidade de medirmos o valor de energia ?
c) Qual é a probabilidade de medirmos o valor de energia ?
d) Qual é a probabilidade de medirmos o valor de energia ?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede na letra (a). Temos uma função de onda que é uma combinação de dois estados de energia diferentes. O conteúdo principal aqui é a Mecânica Quântica, mais especificamente, o cálculo do valor médio da energia de um sistema quântico. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o valor esperado da energia usando a função de onda fornecida.
Passo 2
O valor médio da energia $ \langle E \rangle $ de um sistema quântico é dado pela expectativa do operador Hamiltoniano. No caso de uma combinação de estados estacionários, o valor médio é a soma das energias de cada estado ponderadas pelos seus coeficientes de probabilidade.
Passo 3
Observando a função de onda:
Podemos identificar que temos dois estados de energia: e , com coeficientes e , respectivamente.
Passo 4
Primeiro, precisamos normalizar a função de onda para encontrar o valor de . A condição de normalização é:
Calculando:
Integrando:
Passo 5
Agora, calculamos o valor médio da energia:
Substituindo $ |A|^2 = \frac{1}{a} $:
Passo 6
Usando a expressão para :
Temos:
Passo 7
Substituindo e na expressão de $ \langle E \rangle $:
Passo 8
Agora, vamos para a letra (b). A questão pede a probabilidade de medir uma energia específica , que corresponde a . O conteúdo aqui envolve a interpretação probabilística das funções de onda na Mecânica Quântica.
Passo 9
A probabilidade de medir uma energia específica em um estado quântico é dada pelo quadrado do coeficiente associado a esse estado na função de onda normalizada.
Passo 10
Na nossa função de onda normalizada:
O coeficiente do estado com energia é .
Passo 11
No entanto, para calcular a probabilidade, precisamos considerar o módulo ao quadrado do coeficiente. Mas como o estado está expresso em funções ortogonais, a probabilidade é o quadrado do coeficiente multiplicado pelo valor médio da função.
A probabilidade de medir E2 é o quadrado do coeficiente associado a esse estado na função de onda normalizada.
Passo 14
Observando a função de onda normalizada:
Psi(x, t) = 1raiza[cos(pi xa) e^-i E1 t / hbar + sin(2 pi xa) e^-i E2 t / hbar]
O coeficiente do estado com energia E2 é 1raizasin(2 pi xa).
Passo 15
Calculando a probabilidade:
P(E2) = |1raiza|^2 = 1a
Passo 16
Finalmente, na letra (d), queremos a probabilidade de medir E = 9 pi^2 hbar^22 m a^2. Observando as energias disponíveis na função de onda, vamos verificar se essa energia está presente.
Passo 17
Comparando com as energias na função de onda:
En = n^2 pi^2 hbar^22 m a^2
Para n=3:
E3 = 9 pi^2 hbar^22 m a^2
Passo 18
No entanto, a função de onda fornecida é uma combinação apenas dos estados n=1 e n=2. Não há componente correspondente a n=3, ou seja, E3 não está presente na função de onda.
Passo 19
Logo, a probabilidade de medir E3 é zero, já que não há presença desse estado na superposição.
Resposta
A probabilidade de medir a energia E = 9 pi^2 hbar^22 m a^2 é 0.