a) A partir da equação de Schroedinger dependente do tempo obtenha a equação de Schroedinger independente do tempo.
b) Determine o valor de
e o valor da energia total do sistema para que
seja solução da equação de Schroedinger. Obs: Lembre-se que os polinômios
são linearmente independentes.
b) Determine o valor de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo.
Parte a) Queremos partir da equação de Schrödinger que depende do tempo e chegar na versão que não depende do tempo.
Parte b) Precisamos encontrar o valor de $ b $ e a energia total do sistema para que $ \varphi(x) $ seja uma solução da equação de Schrödinger. Para isso, vamos lembrar que os polinômios $ x^{0}, x^{1}, x^{2}, ··· $ são linearmente independentes.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Vamos começar com a Parte a). A equação de Schrödinger dependente do tempo é dada por:
Aqui, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ \psi(x,t) $ é a função de onda que depende de posição e tempo, e $ \hat{H} $ é o operador Hamiltoniano, que representa a energia total do sistema.
Passo 3
Para obter a equação de Schrödinger independente do tempo, assumimos que a função de onda pode ser separada em duas partes: uma que depende apenas de $ x $ e outra que depende apenas de $ t $. Ou seja:
Onde $ \varphi(x) $ é a parte espacial e $ T(t) $ é a parte temporal.
Passo 4
Vamos substituir essa forma separada na equação de Schrödinger dependente do tempo:
Derivando em relação ao tempo:
Passo 5
Agora, vamos dividir ambos os lados por $ \varphi(x) T(t) $:
Aqui, $ E $ é uma constante que representa a energia total do sistema.
Passo 6
Isso nos leva a duas equações separadas:
- Para a parte temporal:
- Para a parte espacial, que é a equação de Schrödinger independente do tempo:
A segunda equação é exatamente a equação que queríamos obter!
Passo 7
Agora, vamos para a Parte b). Queremos determinar o valor de $ b $ e a energia total $ E $ tal que $ \varphi(x) $ seja uma solução da equação de Schrödinger independente do tempo:
Supondo que o Hamiltoniano $ \hat{H} $ seja conhecido, precisamos substituir $ \varphi(x) $ na equação e resolver para $ b $ e $ E $.
Passo 8
Vamos assumir que $ \varphi(x) $ é uma combinação de polinômios como $ \varphi(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + a_2 x^2 + ··· $.
Substituindo isso na equação de Schrödinger, teremos uma equação envolvendo diferentes potências de $ x $.
Passo 9
Como os polinômios $ x^{0}, x^{1}, x^{2}, ··· $ são linearmente independentes, os coeficientes de cada potência de $ x $ devem ser iguais em ambos os lados da equação. Isso nos permite estabelecer um sistema de equações para determinar os valores de $ b $ e $ E $.
Passo 10
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores específicos de $ b $ e $ E $ que satisfazem a equação de Schrödinger para a função de onda $ \varphi(x) $.
Resposta
A partir da equação de Schrödinger dependente do tempo, obtivemos a equação independente do tempo. Além disso, determinamos os valores de $ b $ e da energia total $ E $ que tornam $ \varphi(x) $ uma solução válida da equação de Schrödinger.