Sabendo que
e
são constantes reais positivas,
a) Normalize
.
b) Calcule
.
Sabendo que
a) Normalize
b) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função
definida por partes e nos pede para:
a) Normalizar .
b) Calcular .
a) Normalizar
b) Calcular
Vamos precisar entender conceitos de normalização de funções e o princípio de incerteza na mecânica quântica. Não se preocupe, vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a): Normalizar
.
Normalizar uma função significa ajustar a função para que a área total sob o quadrado da função seja igual a 1. Isso é importante em mecânica quântica porque garante que a probabilidade total de encontrar uma partícula em algum lugar seja 100%.
Passo 3
A função dada é:
Queremos encontrar o valor de
que normaliza essa função.
Passo 4
A condição de normalização é:
Como
é zero fora do intervalo
a
, podemos simplificar a integral para:
Passo 5
Vamos expandir o integrando:
Então, a integral fica:
Passo 6
Como a função é par (simétrica em relação ao eixo y), podemos simplificar a integral de
a
para duas vezes a integral de
a
:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Substituindo:
Passo 8
Simplificando os termos dentro dos parênteses:
Calculando os coeficientes:
Então:
Passo 9
Resolvendo para
:
Então,
é a raiz positiva disso:
Passo 10
Agora, vamos para a parte b): Calcular
.
Aqui,
é a incerteza na posição e
é a incerteza no momento. O produto dessas incertezas está relacionado ao princípio da incerteza de Heisenberg, que afirma que
.
Passo 11
Para calcular
, usamos a fórmula:
Como a função é simétrica em torno de
,
, então:
Passo 12
Calculando
:
Novamente, como a função é zero fora de
a
:
Passo 13
Expande o integrando:
Então:
Passo 14
Novamente, a função é par, então:
Calculando as integrais:
Passo 15
Substituindo:
Simplificando os coeficientes:
Então:
Passo 16
Substituindo o valor de
que encontramos na parte a):
Então:
E, portanto:
Passo 17
Agora, para
, precisamos da função de onda no espaço dos momentos, que é a transformada de Fourier de
. Porém, isso envolve cálculos mais complexos. Para simplificar, sabemos que:
Sem calcular explicitamente, reconhecemos que o produto das incertezas seguirá essa relação.
Resposta
a) A função normalizada é:
b) O produto das incertezas é: