para ,
a) Normalize a função de onda.
b) Encontre e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de onda definida no intervalo de . O conteúdo aqui envolve normalização de funções de onda e cálculo de valores esperados em mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar usar integrais para garantir que a função esteja normalizada e para encontrar os valores esperados de e .

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Isso significa que a integral do quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Matemáticamente, temos:
Substituindo na integral:

Passo 3

Vamos expandir :
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando nas extremidades:
Simplificando:

Passo 5

Resolvendo para :
Então, a constante de normalização é:

Passo 6

Agora que a função está normalizada, vamos calcular . O valor esperado de é dado por:
Substituindo :

Passo 7

Usando a mesma expansão que fizemos antes:

Passo 8

Integrando termo a termo:
Calculando nas extremidades:
Simplificando:

Passo 9

Substituindo :

Passo 10

Vamos agora calcular :
Expandindo e integrando:

Passo 11

Substituindo :

Passo 12

Finalmente, para encontrar a incerteza , usamos:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

a) A função de onda normalizada é .
b) , e .

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encontre para esse estado.
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