para
,
a) Normalize a função de onda.
b) Encontre
e
.
a) Normalize a função de onda.
b) Encontre
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de onda
definida no intervalo de
. O conteúdo aqui envolve normalização de funções de onda e cálculo de valores esperados em mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar usar integrais para garantir que a função esteja normalizada e para encontrar os valores esperados de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Isso significa que a integral do quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Matemáticamente, temos:
Substituindo
na integral:
Passo 3
Vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando nas extremidades:
Simplificando:
Passo 5
Resolvendo para
:
Então, a constante de normalização
é:
Passo 6
Agora que a função está normalizada, vamos calcular
. O valor esperado de
é dado por:
Substituindo
:
Passo 7
Usando a mesma expansão que fizemos antes:
Passo 8
Integrando termo a termo:
Calculando nas extremidades:
Simplificando:
Passo 9
Substituindo
:
Passo 10
Vamos agora calcular
:
Expandindo e integrando:
Passo 11
Substituindo
:
Passo 12
Finalmente, para encontrar a incerteza
, usamos:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
a) A função de onda normalizada é
.
b)
,
e
.