Psi(x)=A(a x-x^2)
para 0 <= x <= a,
a) Normalize a função de onda.
b) Encontre lang<= xrang<=,lang<= x^2rang<= e De.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de onda definida no intervalo de . O conteúdo aqui envolve normalização de funções de onda e cálculo de valores esperados em mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar usar integrais para garantir que a função esteja normalizada e para encontrar os valores esperados de e .

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Isso significa que a integral do quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Matemáticamente, temos:
integral0^a |Psi(x)|^2 dx = 1
Substituindo integral0^a A^2(a x - x^2)^2 dx = 1 na integral:

Passo 3

Vamos expandir (a x - x^2)^2 = a^2x^2 - 2a x^3 + x^4 :
A^2 integral0^a (a^2x^2 - 2a x^3 + x^4) dx = 1
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
A^2 [ a^2x^33 - 2a x^44 + x^55 ]0^a = 1
Calculando nas extremidades:
A^2 ( a^2a^33 - 2a a^44 + a^55 ) = 1
Simplificando:
A^2 ( a^53 - a^52 + a^55 ) = 1
A^2 a^5 ( 10 - 15 + 630 ) = 1
A^2 a^5 ( 130 ) = 1

Passo 5

Resolvendo para A^2 = 30a^5 :
A = raiz30a^5
Então, a constante de normalização é:

Passo 6

Agora que a função está normalizada, vamos calcular lang<= x rang<= = integral0^a x |Psi(x)|^2 dx . O valor esperado de lang<= x rang<= = A^2 integral0^a x (a x - x^2)^2 dx é dado por:
Substituindo :

Passo 7

Usando a mesma expansão que fizemos antes:
lang<= x rang<= = A^2 integral0^a x (a^2x^2 - 2a x^3 + x^4) dx
= A^2 integral0^a (a^2x^3 - 2a x^4 + x^5) dx

Passo 8

Integrando termo a termo:
A^2 [ a^2x^44 - 2a x^55 + x^66 ]0^a
Calculando nas extremidades:
A^2 ( a^64 - 2a a^55 + a^66 )
Simplificando:
A^2 a^6 ( 14 - 25 + 16 ) = A^2 a^6 ( 15 - 24 + 1060 ) = A^2 a^6 ( 160 )

Passo 9

Substituindo lang<= x rang<= = 30a^5 cdot a^6 cdot 160 = 30 a60 = a2 :

Passo 10

Vamos agora calcular lang<= x^2 rang<= = integral0^a x^2 |Psi(x)|^2 dx = A^2 integral0^a x^2 (a x - x^2)^2 dx :
lang<= x^2 rang<= = A^2 integral0^a x^2 (a^2x^2 - 2a x^3 + x^4) dx
Expandindo e integrando:
= A^2 integral0^a (a^2x^4 - 2a x^5 + x^6) dx
= A^2 [ a^2x^55 - 2a x^66 + x^77 ]0^a
= A^2 ( a^75 - 2a a^66 + a^77 )
= A^2 a^7 ( 15 - 13 + 17 ) = A^2 a^7 ( 21 - 35 + 15105 ) = A^2 a^7 ( 1105 )

Passo 11

Substituindo lang<= x^2 rang<= = 30a^5 cdot a^7 cdot 1105 = 30 a^2105 = 2 a^27 :

Passo 12

Finalmente, para encontrar a incerteza De, usamos:
De
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

a) A função de onda normalizada é .
b) , e .

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