Psi(x)=raiz2a sin (pi xa)
encontre De para esse estado.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos a função de onda:
Psi(x) = raiz2a sin (pi xa)
E precisamos encontrar o produto das incertezas de posição ( De) e momento ( De) para esse estado. Isso está relacionado ao Princípio da Incerteza de Heisenberg na Mecânica Quântica. Para resolver, vamos calcular os valores esperados de x, x^2, p, e p^2, e então usar esses valores para determinar as incertezas.

Passo 2

Vamos começar calculando o valor esperado da posição, lang<= x rang<=. O valor esperado é a média ponderada da posição, dado por:
lang<= x rang<= = integral0^a Psi^*(x) , x , Psi(x) , dx
Como a função de onda é real, temos Psi^*(x) = Psi(x). Substituindo:
lang<= x rang<= = 2a integral0^a x sin^2(pi xa) dx
Usamos a identidade trigonométrica sin^2 theta = 1 - cos(2theta)2:
lang<= x rang<= = 2a cdot 12 integral0^a x [1 - cos(2pi xa)] dx = 1a integral0^a x [1 - cos(2pi xa)] dx
Integrando termo a termo:
lang<= x rang<= = 1a [ a^22 - a^22pi sin(2pi xa) g|0^a ]
Os termos com seno se anulam nos limites, restando:
lang<= x rang<= = 1a cdot a^22 = a2

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado de x^2, lang<= x^2 rang<=:
lang<= x^2 rang<= = integral0^a Psi^*(x) , x^2 , Psi(x) , dx = 2a integral0^a x^2 sin^2(pi xa) dx
Usando novamente a identidade para sin^2:
lang<= x^2 rang<= = 2a cdot 12 integral0^a x^2 [1 - cos(2pi xa)] dx = 1a integral0^a x^2 [1 - cos(2pi xa)] dx
Calculando a integral:
lang<= x^2 rang<= = 1a [ a^33 - a^3(2pi)^2 (2pi x cos(2pi xa) + a sin(2pi xa)) g|0^a ]
Novamente, os termos com seno e cosseno se anulam nos limites, então:
lang<= x^2 rang<= = 1a cdot a^33 = a^23

Passo 4

Com os valores esperados de x e x^2, podemos encontrar a variância de x, que é a incerteza ao quadrado:
De
Portanto, a incerteza em x é:
De

Passo 5

Agora, vamos calcular a incerteza no momento De. Primeiro, precisamos do valor esperado de p, lang<= p rang<=. O operador de momento é dado por:
p = -ihbar ddx
Calculando lang<= p rang<=:
lang<= p rang<= = integral0^a Psi^*(x) p Psi(x) dx = -ihbar integral0^a Psi(x) ddx Psi(x) dx
Derivando Psi(x):
ddx Psi(x) = raiz2a cdot pia cos(pi xa)
Multiplicando e integrando:
lang<= p rang<= = -ihbar cdot 2a cdot pia integral0^a sin(pi xa) cos(pi xa) dx
Usando a identidade sin theta cos theta = 12 sin 2theta:
lang<= p rang<= = -ihbar cdot 2a cdot pia cdot 12 integral0^a sin(2pi xa) dx
A integral de seno é zero nos limites, então lang<= p rang<= = 0.
Agora, calculamos lang<= p^2 rang<=:
lang<= p^2 rang<= = integral0^a Psi^*(x) p^2 Psi(x) dx = -hbar^2 integral0^a Psi(x) d^2dx^2 Psi(x) dx
Derivando duas vezes Psi(x):
d^2dx^2 Psi(x) = -raiz2a ( pia )^2 sin(pi xa)
Portanto:
lang<= p^2 rang<= = -hbar^2 cdot 2a (-pi^2a^2) integral0^a sin^2(pi xa) dx = 2hbar^2 pi^2a^3 cdot a2 = hbar^2 pi^2a^2

Passo 6

Com lang<= p rang<= = 0 e lang<= p^2 rang<= = hbar^2 pi^2a^2, a variância do momento é:
De
Portanto, a incerteza no momento é:
De

Resposta

O produto das incertezas é:
De

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