Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos a função de onda:
E precisamos encontrar o produto das incertezas de posição () e momento () para esse estado. Isso está relacionado ao Princípio da Incerteza de Heisenberg na Mecânica Quântica. Para resolver, vamos calcular os valores esperados de , , , e , e então usar esses valores para determinar as incertezas.
Passo 2
Vamos começar calculando o valor esperado da posição, . O valor esperado é a média ponderada da posição, dado por:
Como a função de onda é real, temos . Substituindo:
Usamos a identidade trigonométrica :
Integrando termo a termo:
Os termos com seno se anulam nos limites, restando:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor esperado de , :
Usando novamente a identidade para :
Calculando a integral:
Novamente, os termos com seno e cosseno se anulam nos limites, então:
Passo 4
Com os valores esperados de e , podemos encontrar a variância de , que é a incerteza ao quadrado:
Portanto, a incerteza em é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a incerteza no momento . Primeiro, precisamos do valor esperado de , . O operador de momento é dado por: