encontre para esse estado.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos a função de onda:
E precisamos encontrar o produto das incertezas de posição ( ) e momento ( ) para esse estado. Isso está relacionado ao Princípio da Incerteza de Heisenberg na Mecânica Quântica. Para resolver, vamos calcular os valores esperados de , , , e , e então usar esses valores para determinar as incertezas.

Passo 2

Vamos começar calculando o valor esperado da posição, . O valor esperado é a média ponderada da posição, dado por:
Como a função de onda é real, temos . Substituindo:
Usamos a identidade trigonométrica :
Integrando termo a termo:
Os termos com seno se anulam nos limites, restando:

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado de , :
Usando novamente a identidade para :
Calculando a integral:
Novamente, os termos com seno e cosseno se anulam nos limites, então:

Passo 4

Com os valores esperados de e , podemos encontrar a variância de , que é a incerteza ao quadrado:
Portanto, a incerteza em é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a incerteza no momento . Primeiro, precisamos do valor esperado de , . O operador de momento é dado por:
Calculando :
Derivando :
Multiplicando e integrando:
Usando a identidade :
A integral de seno é zero nos limites, então .
Agora, calculamos :
Derivando duas vezes :
Portanto:

Passo 6

Com e , a variância do momento é:
Portanto, a incerteza no momento é:

Resposta

O produto das incertezas é:

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para ,
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