Psi(x)=(A e^i p x hbar+B e^-i p x hbar) e^-i p^2 t / 2 m hbar
encontre a corrente de probabilidade e verifique se a equação de continuidade é satisfeita.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função de onda:
Psi(x)=(A e^i p xhbar + B e^-i p xhbar) e^-i p^2 t2 m hbar
O objetivo aqui é encontrar a corrente de probabilidade e verificar se a equação de continuidade é satisfeita. Isso envolve conceitos de mecânica quântica, especialmente sobre como a probabilidade se comporta no tempo e no espaço. Vamos precisar usar a definição de corrente de probabilidade e a equação de continuidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a corrente de probabilidade J(x) = hbar2mi ( Psi^* partial Psipartial x - Psi partial Psi^*partial x ) . A expressão geral para é dada por:
Onde:
  • é o conjugado complexo de .
  • é a constante de Planck reduzida.
  • é a massa da partícula.
  • é a unidade imaginária.

Passo 3

Vamos calcular Psi^*(x) = ( A^* e^-i p xhbar + B^* e^i p xhbar ) e^i p^2 t2 m hbar , o conjugado complexo de :
Aqui, assumimos que e podem ser números complexos, e , são seus conjugados.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de partial Psipartial x = ( A ( i phbar ) e^i p xhbar - B ( i phbar ) e^-i p xhbar ) e^-i p^2 t2 m hbar em relação a partial Psipartial x = ( i phbar A e^i p xhbar - i phbar B e^-i p xhbar ) e^-i p^2 t2 m hbar :
Simplificando:

Passo 5

De maneira similar, vamos calcular a derivada de partial Psi^*partial x = ( -i phbar A^* e^-i p xhbar + i phbar B^* e^i p xhbar ) e^i p^2 t2 m hbar em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos J(x) = hbar2mi [ Psi^* partial Psipartial x - Psi partial Psi^*partial x ] , J(x) = hbar2mi [ ( A^* e^-i p xhbar + B^* e^i p xhbar ) e^i p^2 t2 m hbar ( i phbar A e^i p xhbar - i phbar B e^-i p xhbar ) e^-i p^2 t2 m hbar , - ( A e^i p xhbar + B e^-i p xhbar ) e^-i p^2 t2 m hbar ( -i phbar A^* e^-i p xhbar + i phbar B^* e^i p xhbar ) e^i p^2 t2 m hbar ] , e na expressão da corrente de probabilidade :
Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 7

Vamos simplificar as exponenciais J(x) = hbar2mi [ ( A^* e^-i p xhbar + B^* e^i p xhbar ) ( i phbar A e^i p xhbar - i phbar B e^-i p xhbar ) e - ( A e^i p xhbar + B e^-i p xhbar ) ( -i phbar A^* e^-i p xhbar + i phbar B^* e^i p xhbar ) ] , que se cancelam:

Passo 8

Multiplicando as expressões:
Primeiro termo:
A^* e^-i p xhbar cdot i phbar A e^i p xhbar = i phbar |A|^2
A^* e^-i p xhbar cdot (-i phbar) B e^-i p xhbar = -i phbar A^* B e^-2i p xhbar
B^* e^i p xhbar cdot i phbar A e^i p xhbar = i phbar A B^* e^2i p xhbar
B^* e^i p xhbar cdot (-i phbar) B e^-i p xhbar = -i phbar |B|^2
Repetindo para o segundo termo na expressão de A e^i p xhbar cdot (-i phbar) A^* e^-i p xhbar = -i phbar |A|^2 :
A e^i p xhbar cdot i phbar B^* e^i p xhbar = i phbar A B^* e^2i p xhbar
B e^-i p xhbar cdot (-i phbar) A^* e^-i p xhbar = -i phbar A^* B e^-2i p xhbar
B e^-i p xhbar cdot i phbar B^* e^i p xhbar = i phbar |B|^2

Passo 9

Vamos juntar todos os termos:
J(x) = hbar2mi [ ( i phbar |A|^2 - i phbar A^* B e^-2i p xhbar + i phbar A B^* e^2i p xhbar - i phbar |B|^2 )
- ( -i phbar |A|^2 + i phbar A B^* e^2i p xhbar - i phbar A^* B e^-2i p xhbar + i phbar |B|^2 ) ]
Simplificando os sinais:
J(x) = hbar2mi [ i phbar |A|^2 - i phbar A^* B e^-2i p xhbar + i phbar A B^* e^2i p xhbar - i phbar |B|^2 + i phbar |A|^2 - i phbar A B^* e^2i p xhbar + i phbar A^* B e^-2i p xhbar - i phbar |B|^2 ]

Passo 10

Observando que os termos com J(x) = hbar2mi [ 2 i phbar |A|^2 - 2 i phbar |B|^2 ] e J(x) = hbar2mi cdot 2 i phbar ( |A|^2 - |B|^2 ) se cancelam:
J(x) = hbar2mi cdot 2 i phbar ( |A|^2 - |B|^2 )
Simplificando:
J(x) = pm ( |A|^2 - |B|^2 )
Os e se cancelam:

Resposta

A corrente de probabilidade é:
J(x) = pm ( |A|^2 - |B|^2 )
E, ao calcular a equação de continuidade, verificamos que ela é satisfeita.

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