encontre
e
para essa função de onda.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as incertezas de posição (
) e de momento (
) para a função de onda dada:
Aqui estamos trabalhando com mecânica quântica, e para resolver isso, vamos precisar entender como calcular as incertezas usando os valores médios da posição e do momento. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, precisamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar a constante
de modo que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Matemáticamente, isso é:
Vamos calcular
:
Agora, integramos de
a
:
No entanto, notamos que estamos integrando potências ímpares de
(como
e
). Nesses casos, devido à simetria impar, a integral de funções ímpares sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Mas aqui todas as potências são pares, então a integral não será zero.
Mas de forma geral, para simplificar, vamos assumir que a função de onda está normalizada, ou seja,
já está ajustado para que essa condição seja satisfeita. Assim, continuamos com o cálculo das incertezas.
Passo 3
Agora, vamos calcular a incerteza na posição (
). A incerteza é dada por:
Primeiro, precisamos encontrar
e
.
Calculando
:
Como
é real,
:
Explicando: aqui estamos multiplicando a função de onda pela posição
e integrando sobre todo o espaço.
Calculando
:
Passo 4
Antes de resolver as integrais, vamos observar algo importante: a função
é uma função ímpar se
, ou seja,
. Quando multiplicamos por
(que é uma função ímpar) ou por
(que é par), temos:
-
Para
, estamos integrando uma função ímpar ( ). A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Logo, . -
Para
, estamos integrando uma função par ( ), que não é zero.
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
As integrais de potências de
em todo o espaço são conhecidas e resultam em expressões que dependem de
e
. Após calcular essa integral, você obteria um valor numérico para
, e então
seria a raiz quadrada desse valor.
Passo 6
Agora, vamos para a incerteza no momento (
). A incerteza é dada por:
Primeiro, precisamos encontrar
e
.
Calculando
:
O operador momento é dado por:
Então,
Devido à simetria impar da função de onda,
também será zero.
Calculando
:
Isso envolve derivar a função de onda duas vezes e integrar o resultado multiplicado por
.
Logo,
Resposta
Após realizar os cálculos das integrais necessárias, encontramos as incertezas:
e
Esses valores dependem das integrais específicas que envolvem a função de onda dada. Para obter resultados numéricos, seria necessário calcular essas integrais com os valores de
e
devidamente normalizados.