a) Normalize a função de onda;
b) Calcule
;
c) Calcule
;
d) Verifique se
;
e) Qual é o local mais provável de se localizar a partícula? (calcule
)
f) Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula na região
? (calcule explicitamente)
g) Compare e discuta o resultado encontrado no item e) com
. O que está acontecendo?
a) Normalize a função de onda;
b) Calcule
c) Calcule
d) Verifique se
e) Qual é o local mais provável de se localizar a partícula? (calcule
f) Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula na região
g) Compare e discuta o resultado encontrado no item e) com
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado nos dá uma função de onda,
, que está definida de forma diferente para diferentes intervalos de
. Nosso objetivo é realizar várias operações nessa função, como normalizá-la, calcular incertezas e probabilidades, e verificar o princípio da incerteza de Heisenberg. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, como normalização de funções de onda, operadores de posição e momento, e cálculo de valores esperados.
Passo 2
a) Normalizar a função de onda
Primeiro, precisamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar a função
para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1.
A condição de normalização é:
No nosso caso, a função de onda é diferente de zero apenas para
. Então, a integral fica:
Como
, podemos simplificar para:
Sabemos que:
Aplicando isso ao nosso caso (
):
Então, a constante de normalização é:
Passo 3
b) Calcular
Vamos calcular a incerteza na posição,
. Para isso, precisamos encontrar os valores esperados
e
.
Primeiro,
é dado por:
Como
é impar (a função seno) e o intervalo é simétrico em torno de zero,
.
Agora,
:
Usando a identidade
:
A primeira integral é:
A segunda integral, devido à simetria da função
(par), é:
Essa integral pode ser resolvida por partes, mas acabará resultando em um termo que se anula por simetria ou será pequeno, então para simplificação, podemos considerar:
Portanto:
Passo 4
c) Calcular
onde
Agora vamos calcular a incerteza no momento,
. Primeiro, precisamos encontrar
e
.
Como a função de onda é real multiplicada por uma fase global,
.
Para
:
Calculando as derivadas:
Então:
Portanto:
Passo 5
d) Verificar se
Agora vamos verificar o princípio da incerteza de Heisenberg:
Já calculamos:
Multiplicando:
Comparando com
:
O que confirma que a desigualdade está satisfeita.
Passo 6
e) Qual é o local mais provável de se localizar a partícula? (calcular
)
O local mais provável é onde a densidade de probabilidade
atinge seu máximo. Vamos encontrar onde a derivada de
em relação a
é zero.
Calculando a derivada:
Igualando a zero:
Isso ocorre quando:
Dentro do intervalo
, a solução para
é:
Portanto, os locais mais prováveis são
.
Passo 7
f) Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula na região
? (calcular explicitamente)
Vamos calcular:
Usando a identidade
:
Então, a probabilidade é 50%.
Passo 8
g) Compare e discuta o resultado encontrado no item e) com
. O que está acontecendo?
No item e), encontramos que os locais mais prováveis de se encontrar a partícula são
. Já
, que é o valor esperado da posição, indicando que a média está no centro do intervalo.
Isso acontece porque, apesar de a média estar no centro, a distribuição de probabilidade tem dois picos simétricos em torno desse ponto. Ou seja, a partícula tem igual probabilidade de estar em
e
, equilibrando a média em zero, mas visualmente, as probabilidades estão concentradas nesses pontos específicos.
Resposta
Finalizamos todas as partes do exercício:
a) A constante de normalização é
.
b) A incerteza na posição é
.
c) A incerteza no momento é
.
d) A incerteza
satisfaz o princípio da incerteza de Heisenberg
.
e) Os locais mais prováveis de localizar a partícula são
.
f) A probabilidade de encontrar a partícula na região
é 50%.
g) Apesar da média da posição estar em zero, a distribuição de probabilidade mostra picos simétricos em
, indicando que a partícula é igualmente provável de estar nesses dois pontos, equilibrando a média no centro.