Psi(x, t)=A sen(pi xa) e^-i E t / hbar & 0= a
a) Normalize a função de onda;
b) Calcule De;
c) Calcule De;
d) Verifique se De= hbar2;
e) Qual é o local mais provável de se localizar a partícula?
f) Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula na região a / 2 ?
g) Compare e discuta o resultado encontrado no item e) com lang<= xrang<=. O que está acontecendo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta uma função de onda Psi(x, t) definida para uma partícula confinada entre 0 e a. Nosso objetivo é:
a) Normalizar a função de onda;
b) Calcular a incerteza em posição, De;
c) Calcular a incerteza no momento, De;
d) Verificar a relação de Heisenberg De= hbar2;
e) Encontrar o local mais provável de localizar a partícula;
f) Determinar a probabilidade de encontrar a partícula na região a/2 < x < a;
g) Comparar o resultado de (e) com o valor médio de x, lang<= x rang<=, e discutir o que está acontecendo.
Para resolver tudo isso, vamos precisar lembrar de conceitos de mecânica quântica como normalização de funções de onda, operadores de expectativa, incertezas e probabilidades associadas a observáveis.

Passo 2

a) Normalizar a função de onda
Primeiro, precisamos garantir que a função de onda está normalizada, ou seja, que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço é igual a 1. A condição de normalização é:
integral-infty^infty |Psi(x, t)|^2 dx = 1
Como a função de onda é diferente de zero apenas entre 0 e a, a integral se reduz a:
integral0^a |A sin(pi xa)|^2 dx = 1
Vamos calcular essa integral para encontrar o valor de A.

Passo 3

Calculando a integral:
A^2 integral0^a sin^2(pi xa) dx = 1
Usando a identidade trigonométrica sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2:
A^2 integral0^a 1 - cos(2pi xa)2 dx = 1
Integrando termo a termo:
A^2 [ x2 - a4pi sin(2pi xa) ]0^a = 1
Avaliar nos limites:
No limite superior ( x = a):
a2 - a4pi sin(2pi) = a2 - 0 = a2
No limite inferior ( x = 0):
0 - 0 = 0
Portanto:
A^2 ( a2 - 0 ) = 1 Rightarrow A^2 a2 = 1 Rightarrow A^2 = 2a Rightarrow A = raiz2a

Passo 4

b) Calcular De
Primeiro, precisamos encontrar os valores esperados lang<= x rang<= e lang<= x^2 rang<=.
O valor esperado de x é definido por:
lang<= x rang<= = integral0^a Psi^*(x, t) , x , Psi(x, t) , dx
Como Psi(x, t) é real em módulo, temos:
lang<= x rang<= = integral0^a |Psi(x, t)|^2 x , dx = integral0^a A^2 sin^2(pi xa) x , dx
Vamos calcular isso usando A = raiz2a.

Passo 5

Substituindo A:
lang<= x rang<= = 2a integral0^a x sin^2(pi xa) dx
Usando a identidade sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2:
2a integral0^a x cdot 1 - cos(2pi xa)2 dx = 1a integral0^a x (1 - cos(2pi xa)) dx
Separando a integral:
1a [ integral0^a x , dx - integral0^a x cos(2pi xa) dx ]
Calculando cada parte:
Primeira integral:
integral0^a x , dx = [ x^22 ]0^a = a^22
Segunda integral:
Para integral x cos(kx) dx, usamos integração por partes:
u = x Rightarrow du = dx dv = cos(kx) dx Rightarrow v = sin(kx)k
Então:
x cdot sin(kx)k - integral sin(kx)k dx = x sin(kx)k + cos(kx)k^2
Aplicando com k = 2pia:
x sin(2pi xa)2pia + cos(2pi xa)(2pia)^2 g|0^a
Avaliação nos limites:
Para x = a:
a sin(2pi)2pia + cos(2pi)(2pia)^2 = 0 + 1(2pia)^2 = a^24pi^2
Para x = 0:
0 + 1(2pia)^2 cdot 1 = a^24pi^2
Portanto, a segunda integral é:
a^24pi^2 - a^24pi^2 = 0
Então, temos:
lang<= x rang<= = 1a ( a^22 - 0 ) = a2

Passo 6

Agora, vamos calcular lang<= x^2 rang<=:
lang<= x^2 rang<= = integral0^a |Psi(x, t)|^2 x^2 , dx = 2a integral0^a x^2 sin^2(pi xa) dx
Usando novamente a identidade sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2:
2a cdot 12 integral0^a x^2 (1 - cos(2pi xa)) dx = 1a integral0^a x^2 dx - 1a integral0^a x^2 cos(2pi xa) dx
Primeira integral:
integral0^a x^2 dx = [ x^33 ]0^a = a^33
Segunda integral:
Para integral x^2 cos(kx) dx, usamos integração por partes duas vezes:
Primeira vez:
u = x^2 Rightarrow du = 2x dx dv = cos(kx) dx Rightarrow v = sin(kx)k
Então:
x^2 cdot sin(kx)k - integral 2x sin(kx)k dx
Para a segunda integral, aplicamos integração por partes novamente com:
u = x Rightarrow du = dx dv = sin(kx) dx Rightarrow v = -cos(kx)k
Então:
- 2k ( x cdot -cos(kx)k - integral -cos(kx)k dx ) = 2x cos(kx)k^2 - 2 sin(kx)k^3
Portanto, a integral completa é:
x^2 cdot sin(kx)k + 2x cos(kx)k^2 - 2 sin(kx)k^3 g|0^a
Substituindo k = 2pia e avaliando nos limites:
Em x = a:
a^2 sin(2pi)k + 2a cos(2pi)k^2 - 2 sin(2pi)k^3 = 0 + 2ak^2 - 0 = 2a^34pi^2 = a^32pi^2
Em x = 0:
0 + 0k^2 - 0k^3 = 0
Portanto, a segunda integral é a^32pi^2.
Assim:
lang<= x^2 rang<= = 1a ( a^33 - a^32pi^2 ) = a^23 - a^22pi^2

Passo 7

Agora, calculamos De:
De
Simplificando:
De
Numericamente, isso nos dá o valor de De.

Passo 8

c) Calcular De com p = -i hbar partialpartial x
Primeiro, encontramos o valor esperado de p, lang<= p rang<=, que para estados estacionários é zero devido à simetria da função de onda. Então, De.
Calculamos lang<= p^2 rang<=:
lang<= p^2 rang<= = integral0^a Psi^*(x, t) ( -i hbar partialpartial x )^2 Psi(x, t) dx = hbar^2 integral0^a Psi(x, t) partial^2 Psi(x, t)partial x^2 dx
Vamos derivar Psi(x, t) duas vezes em relação a x.

Passo 9

Derivando Psi(x, t):
Primeira derivada:
partial Psipartial x = A cdot pia cos( pi xa ) e^-iEt/hbar
Segunda derivada:
partial^2 Psipartial x^2 = -A cdot ( pia )^2 sin( pi xa ) e^-iEt/hbar
Portanto:
lang<= p^2 rang<= = hbar^2 integral0^a A sin( pi xa ) e^iEt/hbar ( -A ( pia )^2 sin( pi xa ) e^-iEt/hbar ) dx = hbar^2 A^2 ( pia )^2 integral0^a sin^2( pi xa ) dx
Sabemos que a integral de sin^2 já calculamos anteriormente e é a2.
Então:
lang<= p^2 rang<= = hbar^2 cdot 2a cdot ( pia )^2 cdot a2 = hbar^2 pi^2a^2
Portanto:
De

Passo 10

d) Verificar se De= hbar2
Usamos os valores encontrados:
De
Multiplicando:
De
Calculando numericamente:
112 approx 0.0833 12pi^2 approx 0.0507
Então:
raiz0.0833 - 0.0507 = raiz0.0326 approx 0.1803 De hbar2 = 0.5 hbar
Portanto, a relação de Heisenberg é satisfeita.

Passo 11

e) Qual é o local mais provável de se localizar a partícula?
O local mais provável corresponde ao valor de x onde |Psi(x, t)|^2 é máximo.
|Psi(x, t)|^2 = A^2 sin^2( pi xa )
A função sin^2( pi xa ) atinge seu máximo quando sin( pi xa ) = pm 1, ou seja, quando:
pi xa = pi2 + npi Rightarrow x = a2 + n a
Dentro do intervalo 0 < x < a, o único ponto válido é x = a2.

Passo 12

f) Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula na região a/2 < x < a ?
A probabilidade é dada por:
P = integrala/2^a |Psi(x, t)|^2 dx = 2a integrala/2^a sin^2( pi xa ) dx
Usando a identidade sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2:
2a cdot 12 integrala/2^a (1 - cos( 2pi xa ) ) dx = 1a [ integrala/2^a dx - integrala/2^a cos( 2pi xa ) dx ]
Calculando as integrais:
integrala/2^a dx = a2 integrala/2^a cos( 2pi xa ) dx = a2pi [ sin( 2pi ) - sin( pi ) ] = 0
Portanto, a probabilidade é:
P = 1a cdot a2 = 12

Passo 13

g) Compare e discuta o resultado encontrado no item e) com lang<= x rang<=. O que está acontecendo?
Do item e), o local mais provável de encontrar a partícula é x = a2. Do item b), encontramos que lang<= x rang<= = a2. Isso significa que o valor esperado de x coincide com o local onde a probabilidade de encontrar a partícula é máxima. Isso ocorre porque a função de onda é simétrica em torno de x = a2, fazendo com que o centro de massa da distribuição de probabilidade esteja exatamente nesse ponto.

Resposta

A função de onda está normalizada com A = raiz2a. A incerteza em posição é De, a incerteza no momento é De, e o produto De satisfaz a relação de Heisenberg De= hbar2. O local mais provável de encontrar a partícula é x = a2, e a probabilidade de encontrá-la na região a/2 < x < a é 50%. Observamos que x = a2 coincide com o valor esperado lang<= x rang<= = a2, indicando simetria na distribuição de probabilidade da posição da partícula.

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