a) Normalize a função de onda;
b) Calcule ;
c) Calcule ;
d) Verifique se ;
e) Qual é o local mais provável de se localizar a partícula?
f) Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula na região ?
g) Compare e discuta o resultado encontrado no item e) com . O que está acontecendo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta uma função de onda definida para uma partícula confinada entre e . Nosso objetivo é:
a) Normalizar a função de onda;
b) Calcular a incerteza em posição, ;
c) Calcular a incerteza no momento, ;
d) Verificar a relação de Heisenberg ;
e) Encontrar o local mais provável de localizar a partícula;
f) Determinar a probabilidade de encontrar a partícula na região ;
g) Comparar o resultado de (e) com o valor médio de , , e discutir o que está acontecendo.
Para resolver tudo isso, vamos precisar lembrar de conceitos de mecânica quântica como normalização de funções de onda, operadores de expectativa, incertezas e probabilidades associadas a observáveis.
Passo 2
a) Normalizar a função de onda
Primeiro, precisamos garantir que a função de onda está normalizada, ou seja, que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço é igual a 1. A condição de normalização é:
Como a função de onda é diferente de zero apenas entre e , a integral se reduz a:
Vamos calcular essa integral para encontrar o valor de .
Passo 3
Calculando a integral:
Usando a identidade trigonométrica :
Integrando termo a termo:
Avaliar nos limites:
No limite superior ():
No limite inferior ():
Portanto:
Passo 4
b) Calcular
Primeiro, precisamos encontrar os valores esperados e .
O valor esperado de é definido por:
Como é real em módulo, temos:
Vamos calcular isso usando .
Passo 5
Substituindo :
Usando a identidade :
Separando a integral:
Calculando cada parte:
Primeira integral:
Segunda integral:
Para , usamos integração por partes:
Então:
Aplicando com :
Avaliação nos limites:
Para x = a:
a sin(2pi)2pia + cos(2pi)(2pia)^2 = 0 + 1(2pia)^2 = a^24pi^2
Vamos derivar Psi(x, t) duas vezes em relação a x.
Passo 9
Derivando Psi(x, t):
Primeira derivada:
partial Psipartial x = A cdot pia cos( pi xa ) e^-iEt/hbar
Segunda derivada:
partial^2 Psipartial x^2 = -A cdot ( pia )^2 sin( pi xa ) e^-iEt/hbar
Portanto:
lang<= p^2 rang<= = hbar^2 integral0^a A sin( pi xa ) e^iEt/hbar ( -A ( pia )^2 sin( pi xa ) e^-iEt/hbar ) dx = hbar^2 A^2 ( pia )^2 integral0^a sin^2( pi xa ) dx
Sabemos que a integral de sin^2 já calculamos anteriormente e é a2.
g) Compare e discuta o resultado encontrado no item e) com lang<= x rang<=. O que está acontecendo?
Do item e), o local mais provável de encontrar a partícula é x = a2. Do item b), encontramos que lang<= x rang<= = a2. Isso significa que o valor esperado de x coincide com o local onde a probabilidade de encontrar a partícula é máxima. Isso ocorre porque a função de onda é simétrica em torno de x = a2, fazendo com que o centro de massa da distribuição de probabilidade esteja exatamente nesse ponto.
Resposta
A função de onda está normalizada com A = raiz2a. A incerteza em posição é De, a incerteza no momento é De, e o produto De satisfaz a relação de Heisenberg De= hbar2. O local mais provável de encontrar a partícula é x = a2, e a probabilidade de encontrá-la na região a/2 < x < a é 50%. Observamos que x = a2 coincide com o valor esperado lang<= x rang<= = a2, indicando simetria na distribuição de probabilidade da posição da partícula.