a) Encontre a energia potencial do sistema.
a) Calcule
b) Calcule
sem usar
.
a) Calcule
b) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de onda dada por:
Essa função de onda descreve um sistema quântico, especificamente um oscilador harmônico. Vamos precisar usar conceitos de energia potencial, valores esperados de operadores físicos como
e
. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Parte a): Encontre a energia potencial do sistema.
No contexto de um oscilador harmônico quântico, a energia potencial
é dada pela fórmula clássica:
Aqui,
é a massa da partícula e
é a frequência angular do oscilador. Essa expressão representa uma energia que depende do quadrado da posição
, característica de sistemas oscilatórios.
Passo 3
Parte a): Calcule
.
O valor esperado de
, denotado por
, é calculado usando a função de onda
. A fórmula geral para o valor esperado é:
Como
é real,
. Substituindo a função de onda:
Sabemos que a integral de
de
a
é
. Identificando
:
Para determinar
, usamos a condição de normalização:
Substituindo de volta:
Passo 4
Parte b): Calcule
sem usar
.
Para calcular o valor esperado de
, usamos a relação de incerteza de Heisenberg e a energia total do oscilador harmônico. Sabemos que para o estado fundamental:
Alternativamente, podemos usar a energia total
do oscilador harmônico no estado fundamental, que é:
E sabemos que a energia total é a soma da energia cinética
e da energia potencial
:
Substituindo
e
:
Resolvendo para
:
Resposta
a) A energia potencial do sistema é
.
b) O valor esperado
é
.
c) O valor esperado
é
.