varphi(x)=A exp -m omega2 hbar x^2
a) Encontre a energia potencial do sistema.
a) Calcule lang<=x^2>
b) Calcule sem usar p=-i hbar partialpartial x.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de onda dada por:
varphi(x) = A exp -m omega2 hbar x^2
Essa função de onda descreve um sistema quântico, especificamente um oscilador harmônico. Vamos precisar usar conceitos de energia potencial, valores esperados de operadores físicos como x^2 e p^2. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Parte a): Encontre a energia potencial do sistema.
No contexto de um oscilador harmônico quântico, a energia potencial V(x) é dada pela fórmula clássica:
V(x) = 12 m omega^2 x^2
Aqui, m é a massa da partícula e omega é a frequência angular do oscilador. Essa expressão representa uma energia que depende do quadrado da posição x, característica de sistemas oscilatórios.

Passo 3

Parte a): Calcule lang<= x^2 rang<=.
O valor esperado de x^2, denotado por lang<= x^2 rang<=, é calculado usando a função de onda varphi(x). A fórmula geral para o valor esperado é:
lang<= x^2 rang<= = integral-infty^infty varphi^*(x) , x^2 , varphi(x) , dx
Como varphi(x) é real, varphi^*(x) = varphi(x). Substituindo a função de onda:
lang<= x^2 rang<= = A^2 integral-infty^infty x^2 exp -m omegahbar x^2 dx
Sabemos que a integral de x^2 e^-a x^2 de -infty a infty é raizpi2 a^3/2. Identificando a = m omegahbar:
lang<= x^2 rang<= = A^2 cdot raizpi2 (hbarm omega)^3/2
Para determinar A, usamos a condição de normalização:
integral-infty^infty varphi^2(x) dx = 1 Rightarrow A^2 cdot raizpiraiza = 1 Rightarrow A^2 = raizapi
Substituindo de volta:
lang<= x^2 rang<= = raizapi cdot raizpi2 (hbarm omega)^3/2 = hbar2 m omega

Passo 4

Parte b): Calcule lang<= p^2 rang<= sem usar p = -i hbar partialpartial x.
Para calcular o valor esperado de p^2, usamos a relação de incerteza de Heisenberg e a energia total do oscilador harmônico. Sabemos que para o estado fundamental:
lang<= p^2 rang<= = m hbar omega / 2
Alternativamente, podemos usar a energia total E do oscilador harmônico no estado fundamental, que é:
E = 12 hbar omega
E sabemos que a energia total é a soma da energia cinética lang<= p^2 rang<= / (2m) e da energia potencial lang<= V(x) rang<=:
E = lang<= p^2 rang<=2m + 12 m omega^2 lang<= x^2 rang<=
Substituindo E e lang<= x^2 rang<=:
12 hbar omega = lang<= p^2 rang<=2m + 12 m omega^2 cdot hbar2 m omega = lang<= p^2 rang<=2m + hbar omega4
Resolvendo para lang<= p^2 rang<=:
12 hbar omega - hbar omega4 = lang<= p^2 rang<=2m Rightarrow hbar omega4 = lang<= p^2 rang<=2m Rightarrow lang<= p^2 rang<= = m hbar omega2

Resposta

a) A energia potencial do sistema é V(x) = 12 m omega^2 x^2.
b) O valor esperado lang<= x^2 rang<= é hbar2 m omega.
c) O valor esperado lang<= p^2 rang<= é m hbar omega2.

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