psi3(x)=raiz2L sin (3 pi xL)
para 0 <= x <= L e igual a zero em outros pontos. (a) Quais são as posições mais prováveis do elétron? (b) Explique como identificá-las. Resposta: a) x=L / 4, L / 2 e 3 L / 4

Passo 1

Resumo da questão: Temos a função de onda de um elétron em uma caixa com comprimento , dada por para e zero em outros pontos. Queremos encontrar as posições mais prováveis do elétron e entender como identificá-las. Para isso, vamos usar conceitos de densidade de probabilidade e derivadas para encontrar os pontos onde essa densidade é máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade de probabilidade representa a probabilidade de encontrar o elétron em uma posição específica . Portanto, para encontrar as posições mais prováveis, precisamos encontrar os valores de onde é máxima.

Passo 3

Calculando a densidade de probabilidade:
|psi3(x)|^2 = ( raiz2L sin ( 3pi xL ) )^2 = 2L sin^2 ( 3pi xL )

Passo 4

Para encontrar os máximos de , precisamos identificar onde atinge seu valor máximo. Sabemos que é máxima quando .

Passo 5

Então, resolvemos a equação:
sin ( 3pi xL ) = pm 1
Isso ocorre quando:
3pi xL = pi2 + kpi onde k é um inteiro é

Passo 6

Resolvendo para x = L6 + kL3 :
Dentro do intervalo , precisamos encontrar os valores de que dão soluções válidas.

Passo 7

Escolhendo os valores de que satisfazem :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 8

Portanto, as posições mais prováveis do elétron são:
x = L6, L2, 5L6

Resposta

a) As posições mais prováveis do elétron são , e .

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