para
e igual a zero em outros pontos. (a) Quais são as posições mais prováveis do elétron? (b) Explique como identificá-las. Resposta: a)
e
Passo 1
Resumo da questão: Temos a função de onda de um elétron em uma caixa com comprimento
, dada por
para
e zero em outros pontos. Queremos encontrar as posições mais prováveis do elétron e entender como identificá-las. Para isso, vamos usar conceitos de densidade de probabilidade e derivadas para encontrar os pontos onde essa densidade é máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade de probabilidade
representa a probabilidade de encontrar o elétron em uma posição específica
. Portanto, para encontrar as posições mais prováveis, precisamos encontrar os valores de
onde
é máxima.
Passo 3
Calculando a densidade de probabilidade:
Passo 4
Para encontrar os máximos de
, precisamos identificar onde
atinge seu valor máximo. Sabemos que
é máxima quando
.
Passo 5
Então, resolvemos a equação:
Isso ocorre quando:
Passo 6
Resolvendo para
:
Dentro do intervalo
, precisamos encontrar os valores de
que dão soluções válidas.
Passo 7
Escolhendo os valores de
que satisfazem
:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 8
Portanto, as posições mais prováveis do elétron são:
Resposta
a) As posições mais prováveis do elétron são
,
e
.