( 0,5 pt) Reescreva o sistema linear
{ x1 + 6 x2 - 2 x3 = 9; -2 x1 + x2 - 4 x3 = 1; 8 x1 - x2 + x3 = 4 }
de forma que possamos garantir a convergência dos Métodos de Jacobi e Gauss-Siedel. Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para reescrever um sistema de equações lineares de modo que os Métodos de Jacobi e Gauss-Seidel possam convergir. Isso está ligado ao conteúdo de sistemas lineares e métodos iterativos. Para resolver, vamos precisar verificar se o sistema é diagonalmente dominante, o que garante a convergência desses métodos.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o sistema original:

Passo 3

Para garantir que os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel funcionem, precisamos que a matriz dos coeficientes seja diagonalmente dominante. Ou seja, em cada equação, o valor absoluto do coeficiente da variável principal deve ser maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes.
Vamos verificar:
  1. Primeira equação:
  2. Segunda equação:
  3. Terceira equação:
Nenhuma das equaç��es é diagonalmente dominante. Então, precisamos rearranjar as equações.

Passo 4

Vamos reorganizar as equações para tentar alcançar a diagonal dominante:
  1. Primeira equação: Mantém-se como está.
  2. Segunda equação: Multiplicamos por -1 para facilitar.
  3. Terceira equação: Troca da primeira para a terceira posição.
O sistema fica assim:

Passo 5

Agora, vamos verificar a diagonal dominante novamente:
  1. Primeira equação:
    ✔️
  2. Segunda equação:
    ✔️
  3. Terceira equação:
    ✔️
Agora, todas as equações são diagonalmente dominantes!

Resposta

O sistema reescrito para garantir a convergência dos Métodos de Jacobi e Gauss-Seidel é:

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