( 0,5 pt) Reescreva o sistema linear
de forma que possamos garantir a convergência dos Métodos de Jacobi e Gauss-Siedel. Justifique!
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para reescrever um sistema de equações lineares de modo que os Métodos de Jacobi e Gauss-Seidel possam convergir. Isso está ligado ao conteúdo de sistemas lineares e métodos iterativos. Para resolver, vamos precisar verificar se o sistema é diagonalmente dominante, o que garante a convergência desses métodos.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o sistema original:
Passo 3
Para garantir que os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel funcionem, precisamos que a matriz dos coeficientes seja diagonalmente dominante. Ou seja, em cada equação, o valor absoluto do coeficiente da variável principal deve ser maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes.
Vamos verificar:
-
Primeira equação:
❌ -
Segunda equação:
❌ -
Terceira equação:
❌
Nenhuma das equaç��es é diagonalmente dominante. Então, precisamos rearranjar as equações.
Passo 4
Vamos reorganizar as equações para tentar alcançar a diagonal dominante:
- Primeira equação: Mantém-se como está.
- Segunda equação: Multiplicamos por -1 para facilitar.
- Terceira equação: Troca da primeira para a terceira posição.
O sistema fica assim:
Passo 5
Agora, vamos verificar a diagonal dominante novamente:
-
Primeira equação:
✔️ -
Segunda equação:
✔️ -
Terceira equação:
✔️
Agora, todas as equações são diagonalmente dominantes!
Resposta
O sistema reescrito para garantir a convergência dos Métodos de Jacobi e Gauss-Seidel é: