Encontre uma solução particular para a equação diferencial dada, utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. O que a gente precisa é encontrar uma solução particular dessa equação usando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é bom pra resolver equações lineares onde o lado direito é uma função que a gente consegue adivinhar a forma da solução particular, como polinômios, exponenciais, senoides, etc.
Passo 2
Primeiro, a gente resolve a equação homogênea associada, que é
. Vamos achar as soluções dessa parte pra depois focar na solução particular.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, a gente monta a equação característica:
. Vamos achar as raízes dessa equação quadrática.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções da homogênea são
.
Passo 5
Agora, vamos focar na solução particular
da equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau (3t), vamos supor que
também seja um polinômio de primeiro grau:
onde
e
são coeficientes que a gente precisa determinar.
Passo 6
Vamos derivar
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Resposta
A solução particular é: