Encontre uma solução particular para a equação diferencial dada, utilizando o método dos coeficientes indeterminados. y'' + 3y' + 2y = 3t;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . O que a gente precisa é encontrar uma solução particular dessa equação usando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é bom pra resolver equações lineares onde o lado direito é uma função que a gente consegue adivinhar a forma da solução particular, como polinômios, exponenciais, senoides, etc.

Passo 2

Primeiro, a gente resolve a equação homogênea associada, que é . Vamos achar as soluções dessa parte pra depois focar na solução particular.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, a gente monta a equação característica: . Vamos achar as raízes dessa equação quadrática.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções da homogênea são .

Passo 5

Agora, vamos focar na solução particular da equação completa . Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau (3t), vamos supor que também seja um polinômio de primeiro grau:
onde e são coeficientes que a gente precisa determinar.

Passo 6

Vamos derivar :
Substituindo , e na equação original:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:

Resposta

A solução particular é:

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