(2,5 ptos) Considere a função , dada por
(a) Analise a continuidade da função .

Passo 1

Beleza, vamos analisar a continuidade da função . A função está definida de duas formas: uma para e outra para . Para entender se é contínua, precisamos verificar se os limites da função em coincidem com o valor da função nesse ponto. Vamos precisar usar conceitos de limites e propriedades de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2, ou seja, . Para , a função é dada por .

Passo 3

Vamos simplificar o numerador . Podemos fatorar essa expressão:
Então, a função fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar . Isso é igual a:
Portanto, a função se comporta de maneira diferente à esquerda e à direita de .

Passo 5

Vamos calcular os limites laterais:
  • Limite pela direita ( ):
  • Limite pela esquerda ( ):

Passo 6

Como os limites laterais são diferentes ( pela direita e pela esquerda), o limite geral não existe.

Passo 7

Agora, vamos comparar com o valor da função em :
Como o limite não existe e, portanto, não coincide com , a função não é contínua em .

Resposta

A função não é contínua em .

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a)