(2,0 pts) Calcule, usando o produto misto, o volume do cubo determinado por 2 i, 2 j e -2 k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um cubo usando o produto misto, que envolve vetores. Para isso, vamos precisar entender o que é o produto misto e como aplicá-lo usando os vetores fornecidos: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto. O produto misto de três vetores a cdot (b times c) , , e é dado por:
Ele nos dá o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores. No caso de um cubo, como todos os lados são iguais e perpendiculares, o volume calculado pelo produto misto será o volume do cubo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos vetores dados:
a = 2i, b = 2j, c = -2k
Primeiro, calculamos o produto vetorial b times c = (2j) times (-2k) = -4(j times k) :
b times c = -4i
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, fazemos o produto escalar de a cdot (b times c) = (2i) cdot (-4i) = 2 times (-4) times (i cdot i) com o resultado do produto vetorial:
a cdot (b times c) = -8
Como , então:

Resposta

O volume do cubo é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

(2,0 pts)Determine:
(a) As equações reduzidas, na variável x, da reta r1 que passa por A(2,0,0) e tem direção de v=(4,5,3).
(b) Determine o ângulo entre a reta r1, obtida no item anterior, e a reta r2: x-11=y-5-2=z2.
Determine a equação da reta interseção dos planos nos seguintes casos:
c) rx-2 y-z-8=0 2 x+3 y+13=0
(2,0 pts) Dadas as retas r1, que passa pelo ponto A1(2,4,0) e tem direção do vetor v1=(1,-1,-1) e r2:ly=6-x z=2-x.
(a) Verifique se r1 e r2 são ou não coplanares.
(b) Se forem coplanares, são coincidentes, concorrentes ou paralelas? Justifique.
Dados os vetores u=(13, 45) e v=(-1,2) :
(a) (1,0 ponto) Determine u+v.