(2,0 pts)Determine:
(a) As equações reduzidas, na variável , da reta que passa por e tem direção de .
(b) Determine o ângulo entre a reta , obtida no item anterior, e a reta .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede duas coisas. Primeiro, encontrar as equações reduzidas da reta que passa pelo ponto e tem direção do vetor . Depois, a gente precisa descobrir o ângulo entre essa reta e outra reta que já está definida. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de reta e cálculo de ângulo entre vetores.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Para achar as equações reduzidas da reta na variável , precisamos usar a fórmula das equações paramétricas e depois rearranjá-las para isolar e em função de .
A equação geral de uma reta no espaço é dada por:
onde é um ponto da reta e é o vetor diretor.
Aqui, nosso ponto tem coordenadas e o vetor diretor é .
Então, substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, queremos as equações reduzidas em termos de . Isso significa que vamos expressar e em função de .
Vamos igualar cada fração a , que é o parâmetro:
Agora, resolvendo cada uma para e :
Para :
Para :
Passo 4
Então, as equações reduzidas da reta na variável são:
Passo 5
Vamos agora para a parte (b), onde precisamos encontrar o ângulo entre as retas e . Para isso, usamos os vetores diretores de cada reta.
A reta tem o vetor diretor .
A reta está dada por:
Então, o vetor diretor de é .
Passo 6
Para encontrar o ângulo entre as duas retas, usamos a fórmula do produto escalar entre os vetores diretores:
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Passo 7
Agora, calculamos as magnitudes dos vetores:
Passo 8
Voltando à fórmula do cosseno, temos:
Quando o cosseno do ângulo é zero, isso significa que o ângulo é .
Resposta
(a) As equações reduzidas da reta na variável são: