(2,0 pts)Determine:
(a) As equações reduzidas, na variável x, da reta r1 que passa por A(2,0,0) e tem direção de v=(4,5,3).
(b) Determine o ângulo entre a reta r1, obtida no item anterior, e a reta r2: x-11=y-5-2=z2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede duas coisas. Primeiro, encontrar as equações reduzidas da reta que passa pelo ponto e tem direção do vetor . Depois, a gente precisa descobrir o ângulo entre essa reta e outra reta que já está definida. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de reta e cálculo de ângulo entre vetores.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Para achar as equações reduzidas da reta x - x0a = y - y0b = z - z0c na variável x - 24 = y - 05 = z - 03 , precisamos usar a fórmula das equações paramétricas e depois rearranjá-las para isolar e em função de .
A equação geral de uma reta no espaço é dada por:
onde é um ponto da reta e é o vetor diretor.
Aqui, nosso ponto tem coordenadas e o vetor diretor é .
Então, substituindo na fórmula:

Passo 3

Agora, queremos as equações reduzidas em termos de x - 24 = t . Isso significa que vamos expressar y5 = t e z3 = t em função de y = 5t = 5(x - 24) = 54(x - 2) .
Vamos igualar cada fração a z = 3t = 3(x - 24) = 34(x - 2) , que é o parâmetro:
Agora, resolvendo cada uma para e :
Para :
Para :

Passo 4

Então, as equações reduzidas da reta y = 54(x - 2) na variável z = 34(x - 2) são:

Passo 5

Vamos agora para a parte (b), onde precisamos encontrar o ângulo entre as retas x - 11 = y - 5-2 = z2 e . Para isso, usamos os vetores diretores de cada reta.
A reta tem o vetor diretor .
A reta está dada por:
Então, o vetor diretor de é .

Passo 6

Para encontrar o ângulo cos(theta) = v1 cdot v2|v1| cdot |v2| entre as duas retas, usamos a fórmula do produto escalar entre os vetores diretores:
v1 cdot v2 = (4)(1) + (5)(-2) + (3)(2) = 4 - 10 + 6 = 0
Primeiro, calculamos o produto escalar :

Passo 7

Agora, calculamos as magnitudes dos vetores:
|v1| = raiz4^2 + 5^2 + 3^2 = raiz16 + 25 + 9 = raiz50 = 5raiz2
|v2| = raiz1^2 + (-2)^2 + 2^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3

Passo 8

Voltando à fórmula do cosseno, temos:
cos(theta) = 05raiz2 cdot 3 = 0
Quando o cosseno do ângulo é zero, isso significa que o ângulo é .

Resposta

(a) As equações reduzidas da reta y = 54(x - 2) na variável z = 34(x - 2) são:
(b) O ângulo entre as retas e é .

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