(9 pts) Determine condições sobre a, b, c, d para que o vetor v=(a, b, c, d) in U.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir quais condições os números precisam satisfazer para que o vetor pertença ao conjunto . Isso envolve entender um pouco de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e as condições que definem um vetor dentro de um subespaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber o que é o conjunto a + b - c = 0 2a - d = 0 . Na matemática, um subespaço vectorial do espaço (já que nosso vetor tem 4 componentes) é definido por um conjunto de equações lineares. Essas equações impõem restrições às componentes do vetor para que ele pertença a .
Por exemplo, suponha que seja definido pelas seguintes equações:
Nesse caso, para que esteja em , os valores de devem satisfazer ambas as equações.

Passo 3

Vamos resolver essas equações para descobrir as condições:
  1. Primeira equação: c = a + b
    • Podemos rearranjar para encontrar d = 2a :
    c = a + b e d = 2a
  2. Segunda equação:
    • Rearranjando para :
Então, as condições são:

Resposta

Para o vetor c = a + b e d = 2a pertencer ao conjunto , os coeficientes devem satisfazer:

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