Verificar se a aplicação é uma transformação linear:
a) f: R^3 R^2 definida por f(x, y, z)=(z, x+y)
b) f: R R^2 definida por f(x)=(8, x)
c) f: R^2 R^2 definida por f(x, y)=(x^2+y^2, x)
d) f: R^3 R, dada por f(x, y, z)=-2 x+3 y+7 z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se as aplicações listadas são transformações lineares. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver, vamos lembrar das propriedades que uma transformação linear deve satisfazer e então verificar cada caso apresentado no exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma função entre dois espaços vetoriais é uma transformação linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes duas condições forem verdadeiras:
  1. Adição vetorial:
  2. Multiplicação por escalar:
Essas duas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura linear dos espaços vetoriais.

Passo 3

Vamos começar verificando a parte a):
a) definida por
Primeiro, vamos testar as duas propriedades:
  1. Adição vetorial:
    • Seja e
    • As duas expressões são iguais, a primeira propriedade é satisfeita.
  2. Multiplicação por escalar:
    • Seja um escalar.
    • A segunda propriedade também é satisfeita.
Como ambas as propriedades são verdadeiras, a) é uma transformação linear.

Passo 4

Agora, vamos para a parte b):
b) definida por
Vamos verificar as duas propriedades:
  1. Adição vetorial:
    • Seja
    • Essas duas expressões não são iguais porque o primeiro componente difere (8 vs 16).
Como a primeira propriedade não é satisfeita, b) não é uma transformação linear.

Passo 5

Vamos para a parte c):
c) definida por
Vamos verificar as duas propriedades:
  1. Adição vetorial:
    • Seja e
    • O primeiro componente de expande para , que não é igual a a menos que sempre, o que não é o caso.
Como a primeira propriedade não é satisfeita, c) não é uma transformação linear.

Passo 6

Por fim, vamos analisar a parte d):
d) definida por
Vamos verificar as duas propriedades:
  1. Adição vetorial:
    • Seja e
  2. Multiplicação por escalar:
    • Seja um escalar.
Como ambas as propriedades são verdadeiras, d) é uma transformação linear.

Resposta

As aplicações a) e d) são transformações lineares, enquanto b) e c) não são transformações lineares.

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