Verificar se a aplicação é uma transformação linear:
a)
definida por
b)
definida por
c)
definida por
d)
, dada por
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se as aplicações listadas são transformações lineares. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver, vamos lembrar das propriedades que uma transformação linear deve satisfazer e então verificar cada caso apresentado no exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma função
entre dois espaços vetoriais é uma transformação linear se, para quaisquer vetores
em
e qualquer escalar
, as seguintes duas condições forem verdadeiras:
- Adição vetorial:
- Multiplicação por escalar:
Essas duas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura linear dos espaços vetoriais.
Passo 3
Vamos começar verificando a parte a):
a)
definida por
Primeiro, vamos testar as duas propriedades:
-
Adição vetorial:
- Seja
e -
-
- As duas expressões são iguais, a primeira propriedade é satisfeita.
- Seja
-
Multiplicação por escalar:
- Seja
um escalar. -
- A segunda propriedade também é satisfeita.
- Seja
Como ambas as propriedades são verdadeiras, a) é uma transformação linear.
Passo 4
Agora, vamos para a parte b):
b)
definida por
Vamos verificar as duas propriedades:
- Adição vetorial:
- Seja
-
-
- Essas duas expressões não são iguais porque o primeiro componente difere (8 vs 16).
- Seja
Como a primeira propriedade não é satisfeita, b) não é uma transformação linear.
Passo 5
Vamos para a parte c):
c)
definida por
Vamos verificar as duas propriedades:
- Adição vetorial:
- Seja
e -
-
- O primeiro componente de
expande para , que não é igual a a menos que sempre, o que não é o caso.
- Seja
Como a primeira propriedade não é satisfeita, c) não é uma transformação linear.
Passo 6
Por fim, vamos analisar a parte d):
d)
definida por
Vamos verificar as duas propriedades:
-
Adição vetorial:
- Seja
e -
- Seja
-
Multiplicação por escalar:
- Seja
um escalar. -
- Seja
Como ambas as propriedades são verdadeiras, d) é uma transformação linear.
Resposta
As aplicações a) e d) são transformações lineares, enquanto b) e c) não são transformações lineares.