Considere as retas r: x2=-y3=za e s:lx=-1+3 lambda y=-5+2 lambda z=lambda lambda in R. Determine o valor de a para que r e s sejam concorrentes e ache o ponto de interseção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas retas no espaço tridimensional e queremos descobrir para qual valor de essas retas se cruzam, ou seja, são concorrentes. Vamos precisar usar o conceito de equações paramétricas de retas e igualdade de coordenadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas x2 = -y3 = za e x = 2t, y = -3t, z = at .
A reta x = -1 + 3lambda, y = -5 + 2lambda, z = lambda está na forma simétrica:
Podemos transformar isso em equações paramétricas usando um parâmetro, digamos :
A reta já está nas equações paramétricas:
Aqui, é o parâmetro.

Passo 3

Para as retas serem concorrentes, deve existir um ponto que pertence a ambas. Isso significa que devemos encontrar valores de 2t = -1 + 3lambda (1) e -3t = -5 + 2lambda (2) que satisfaçam simultaneamente as equações de at = lambda (3) e .
Vamos igualar as coordenadas correspondentes:

Passo 4

Vamos resolver as equações (1) e (2) para encontrar 2t = -1 + 3lambda implies 2t + 1 = 3lambda implies lambda = 2t + 13 e -3t = -5 + 2lambda implies -3t + 5 = 2lambda implies lambda = -3t + 52 .
Da equação (1):
2t + 13 = -3t + 52
Da equação (2):
Agora, igualamos as duas expressões para :

Passo 5

Vamos resolver essa igualdade:
Multiplicamos em cruz:
2(2t + 1) = 3(-3t + 5)
4t + 2 = -9t + 15
Somamos 13t + 2 = 15 em ambos os lados:
13t = 13
Subtraímos 2:
t = 1
Dividimos por 13:

Passo 6

Agora que temos a cdot t = lambda implies a cdot 1 = lambda implies lambda = a , vamos encontrar lambda = 2(1) + 13 = 33 = 1 usando a equação (3):
Também podemos verificar usando uma das expressões para :
Então, .

Passo 7

Agora que encontramos x = 2(1) = 2, y = -3(1) = -3, z = 1 cdot 1 = 1 , vamos achar o ponto de interseção substituindo nas equações da reta :
Então, o ponto de interseção é .

Resposta

O valor de é e o ponto de interseção das retas é .

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