Considere as retas e . Determine o valor de para que e sejam concorrentes e ache o ponto de interseção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas retas no espaço tridimensional e queremos descobrir para qual valor de essas retas se cruzam, ou seja, são concorrentes. Vamos precisar usar o conceito de equações paramétricas de retas e igualdade de coordenadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas e .
A reta está na forma simétrica:
Podemos transformar isso em equações paramétricas usando um parâmetro, digamos :
A reta já está nas equações paramétricas:
Aqui, é o parâmetro.

Passo 3

Para as retas serem concorrentes, deve existir um ponto que pertence a ambas. Isso significa que devemos encontrar valores de e que satisfaçam simultaneamente as equações de e .
Vamos igualar as coordenadas correspondentes:

Passo 4

Vamos resolver as equações (1) e (2) para encontrar e .
Da equação (1):
Da equação (2):
Agora, igualamos as duas expressões para :

Passo 5

Vamos resolver essa igualdade:
Multiplicamos em cruz:
Somamos em ambos os lados:
Subtraímos 2:
Dividimos por 13:

Passo 6

Agora que temos , vamos encontrar usando a equação (3):
Também podemos verificar usando uma das expressões para :
Então, .

Passo 7

Agora que encontramos , vamos achar o ponto de interseção substituindo nas equações da reta :
Então, o ponto de interseção é .

Resposta

O valor de é e o ponto de interseção das retas é .

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Determine um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas. Além disso, verifique se o ponto pertence às retas.
;
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a) definida por
b) definida por
c) definida por
d) , dada por
(9 pts) Determine condições sobre para que o vetor .