Considere as retas e . Determine o valor de para que e sejam concorrentes e ache o ponto de interseção.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas retas no espaço tridimensional e queremos descobrir para qual valor de essas retas se cruzam, ou seja, são concorrentes. Vamos precisar usar o conceito de equações paramétricas de retas e igualdade de coordenadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das retas e .
A reta está na forma simétrica:
Podemos transformar isso em equações paramétricas usando um parâmetro, digamos :
A reta já está nas equações paramétricas:
Aqui, é o parâmetro.
Passo 3
Para as retas serem concorrentes, deve existir um ponto que pertence a ambas. Isso significa que devemos encontrar valores de e que satisfaçam simultaneamente as equações de e .
Vamos igualar as coordenadas correspondentes:
Passo 4
Vamos resolver as equações (1) e (2) para encontrar e .
Da equação (1):
Da equação (2):
Agora, igualamos as duas expressões para :
Passo 5
Vamos resolver essa igualdade:
Multiplicamos em cruz:
Somamos em ambos os lados:
Subtraímos 2:
Dividimos por 13:
Passo 6
Agora que temos , vamos encontrar usando a equação (3):
Também podemos verificar usando uma das expressões para :
Então, .
Passo 7
Agora que encontramos , vamos achar o ponto de interseção substituindo nas equações da reta :
Então, o ponto de interseção é .
Resposta
O valor de é e o ponto de interseção das retas é .