1. (1.5 pts) Determine e prove, pela definição, que o seguinte limite existe:
lim f(x)x onde f(x)=raizx^2+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar e provar, usando a definição, que o limite de , onde , existe. Isso está dentro do conteúdo de cálculo de limites, especificamente usando a definição formal de limite. Para resolver, precisamos aplicar a definição de limite quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que raizx^2 + 2x significa. Substituindo , temos:
Queremos encontrar o valor para o qual essa expressão se aproxima quando fica muito grande (tende ao infinito).

Passo 3

Vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Dividimos o numerador e o denominador por raizx^2 + 2x = raizx^2 + 2x^2 = raiz1 + 2x^2 :
Agora, a expressão dentro da raiz fica mais clara. Conforme tende ao infinito, tende a 0.

Passo 4

Então, podemos avaliar o limite da expressão simplificada:
limx to infty raiz1 + 2x^2 = raiz1 + 0 = 1
Isso sugere que o limite de é 1 quando vai para o infinito.

Passo 5

Agora, vamos provar isso usando a definição formal de limite. Queremos mostrar que, para todo | raizx^2 + 2x - 1 | < epsilon , existe um número | raizx^2 + 2x - 1 | = | raizx^2 + 2 - xx | tal que para todo | (raizx^2 + 2 - x)(raizx^2 + 2 + x)x(raizx^2 + 2 + x) | = | 2x(raizx^2 + 2 + x) | :
2x(raizx^2 + 2 + x) < 2x( x + x ) = 22x^2 = 1x^2
Vamos simplificar a expressão dentro do módulo:
Multiplicando o numerador e denominador por para racionalizar:
Como é positivo e grande, podemos simplificar ainda mais:
Então, para que , basta que .

Resposta

Portanto, o limite existe e é igual a .

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