(1.5 pts) Determine e prove, pela definição, que o seguinte limite existe:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar e provar, usando a definição, que o limite de , onde , existe. Isso está dentro do conteúdo de cálculo de limites, especificamente usando a definição formal de limite. Para resolver, precisamos aplicar a definição de limite quando tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa. Substituindo , temos:
Queremos encontrar o valor para o qual essa expressão se aproxima quando fica muito grande (tende ao infinito).
Passo 3
Vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Dividimos o numerador e o denominador por :
Agora, a expressão dentro da raiz fica mais clara. Conforme tende ao infinito, tende a 0.
Passo 4
Então, podemos avaliar o limite da expressão simplificada:
Isso sugere que o limite de é 1 quando vai para o infinito.
Passo 5
Agora, vamos provar isso usando a definição formal de limite. Queremos mostrar que, para todo , existe um número tal que para todo :
Vamos simplificar a expressão dentro do módulo:
Multiplicando o numerador e denominador por para racionalizar:
Como é positivo e grande, podemos simplificar ainda mais: