Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado.
y = 4 sen^2(x), (pi / 6, 1)

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Isso é um exercício de cálculo diferencial, onde vamos usar derivadas para achar a inclinação da tangente nessa posição específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para achar a equação da tangente, precisamos saber dois pontos: o ponto onde a tangente toca a curva e a inclinação dessa reta naquele ponto. A inclinação é dada pela derivada da função no ponto dado.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada de . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inclinação da tangente no ponto . Substituímos na derivada:
Sabemos que e , então:

Passo 5

Com a inclinação e sabendo que a reta tangente passa pelo ponto , usamos a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto dado é:

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