Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado.
Passo 1
Beleza! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Isso é um exercício de cálculo diferencial, onde vamos usar derivadas para achar a inclinação da tangente nessa posição específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para achar a equação da tangente, precisamos saber dois pontos: o ponto onde a tangente toca a curva e a inclinação dessa reta naquele ponto. A inclinação é dada pela derivada da função no ponto dado.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada de . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a inclinação da tangente no ponto . Substituímos na derivada:
Sabemos que e , então:
Passo 5
Com a inclinação e sabendo que a reta tangente passa pelo ponto , usamos a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto dado é: