(PUC-RJ) O valor de (1-i)^12, onde i é a unidade imaginária, é de:

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente encontrar o valor de (1 - i)^12, onde i é a unidade imaginária. Vamos usar conhecimentos de números complexos, mais especificamente a forma polar e o teorema de De Moivre, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, precisamos transformar o número complexo 1 - i da forma retangular para a forma polar. Para isso, vamos calcular o módulo e o argumento desse número.

Passo 3

O módulo de um número complexo a + b i é calculado por |a + b i| = raiza^2 + b^2. No nosso caso, a = 1 e b = -1. Então:
|1 - i| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento (o ângulo) do número complexo 1 - i. O argumento é dado por:
theta = tan^-1(ba) = tan^-1(-11) = -pi4

Passo 5

Com o módulo e o argumento, podemos escrever 1 - i na forma polar:
1 - i = raiz2 ( cos(-pi4) + i sin(-pi4) )

Passo 6

Agora, vamos aplicar o teorema de De Moivre, que diz:
(r (cos theta + i sin theta))^n = r^n ( cos(ntheta) + i sin(ntheta) )
Aqui, n = 12, r = raiz2 e theta = -pi4.

Passo 7

Vamos calcular r^n:
(raiz2)^12 = (2^1/2)^12 = 2^6 = 64

Passo 8

Em seguida, calculamos ntheta:
12 times (-pi4) = -3pi

Passo 9

Aplicando o teorema de De Moivre:
(1 - i)^12 = 64 ( cos(-3pi) + i sin(-3pi) )

Passo 10

Sabemos que cos(-3pi) = cos(3pi) = -1 e sin(-3pi) = -sin(3pi) = 0 (porque o seno de múltiplos inteiros de pi é zero). Então:
(1 - i)^12 = 64 ( -1 + i cdot 0 ) = -64

Resposta

O valor de (1 - i)^12 é -64.

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