(PUC-RJ) O valor de , onde é a unidade imaginária, é de:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente encontrar o valor de , onde é a unidade imaginária. Vamos usar conhecimentos de números complexos, mais especificamente a forma polar e o teorema de De Moivre, para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, precisamos transformar o número complexo da forma retangular para a forma polar. Para isso, vamos calcular o módulo e o argumento desse número.
Passo 3
O módulo de um número complexo é calculado por . No nosso caso, e . Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento (o ângulo) do número complexo . O argumento é dado por:
Passo 5
Com o módulo e o argumento, podemos escrever na forma polar:
Passo 6
Agora, vamos aplicar o teorema de De Moivre, que diz:
Aqui, , e .
Passo 7
Vamos calcular :
Passo 8
Em seguida, calculamos :
Passo 9
Aplicando o teorema de De Moivre:
Passo 10
Sabemos que e (porque o seno de múltiplos inteiros de é zero). Então: