(PUC-RJ) O valor de , onde é a unidade imaginária, é de:

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente encontrar o valor de , onde é a unidade imaginária. Vamos usar conhecimentos de números complexos, mais especificamente a forma polar e o teorema de De Moivre, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, precisamos transformar o número complexo da forma retangular para a forma polar. Para isso, vamos calcular o módulo e o argumento desse número.

Passo 3

O módulo de um número complexo é calculado por . No nosso caso, e . Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento (o ângulo) do número complexo . O argumento é dado por:

Passo 5

Com o módulo e o argumento, podemos escrever na forma polar:

Passo 6

Agora, vamos aplicar o teorema de De Moivre, que diz:
Aqui, , e .

Passo 7

Vamos calcular :

Passo 8

Em seguida, calculamos :

Passo 9

Aplicando o teorema de De Moivre:

Passo 10

Sabemos que e (porque o seno de múltiplos inteiros de é zero). Então:

Resposta

O valor de é .

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Dados os complexos e ; calcule: .
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