(PUC-RJ) O valor de
, onde
é a unidade imaginária, é de:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente encontrar o valor de
, onde
é a unidade imaginária. Vamos usar conhecimentos de números complexos, mais especificamente a forma polar e o teorema de De Moivre, para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, precisamos transformar o número complexo
da forma retangular para a forma polar. Para isso, vamos calcular o módulo e o argumento desse número.
Passo 3
O módulo de um número complexo
é calculado por
. No nosso caso,
e
. Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento (o ângulo) do número complexo
. O argumento é dado por:
Passo 5
Com o módulo e o argumento, podemos escrever
na forma polar:
Passo 6
Agora, vamos aplicar o teorema de De Moivre, que diz:
Aqui,
,
e
.
Passo 7
Vamos calcular
:
Passo 8
Em seguida, calculamos
:
Passo 9
Aplicando o teorema de De Moivre:
Passo 10
Sabemos que
e
(porque o seno de múltiplos inteiros de
é zero). Então:
Resposta
O valor de
é
.