Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. Confira os resultados com o Teorema de Rouché-Capelli. Faça o escalonamento passo a passo.
b)

Passo 1

Beleza, temos um sistema de equações com 3 equações e 5 incógnitas. A ideia aqui é transformar esse sistema em uma matriz aumentada e simplificá-la usando operações de linha para chegar à forma escada. Isso vai nos ajudar a encontrar os postos das matrizes e ver se o sistema tem solução, além de determinar o grau de liberdade se houver.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a matriz. O primeiro passo é usar o primeiro elemento da primeira linha (que é 1) como pivô para eliminar os coeficientes abaixo dele na primeira coluna.
Vamos multiplicar a primeira linha por 2 e subtrair da segunda linha para zerar o elemento abaixo do pivô:
Linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 1

Passo 4

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do pivô na primeira coluna da terceira linha. Para isso, subtraímos a primeira linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 1

Passo 5

Em seguida, vamos usar o segundo pivô. Observamos que o segundo elemento da segunda linha é 0, então precisamos encontrar o próximo pivô na terceira coluna. Vamos simplificar a segunda e terceira linhas.
Primeiro, dividimos a segunda linha por -3 para tornar o pivô igual a 1:
Linha 2 = (1/-3) * Linha 2

Passo 6

Agora, vamos eliminar o coeficiente abaixo do pivô na terceira coluna. Para isso, adicionamos 3 vezes a segunda linha à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + 3 * Linha 2

Passo 7

Agora, vamos simplificar a terceira linha dividindo por 5 para obter um pivô igual a 1:
Linha 3 = (1/5) * Linha 3

Passo 8

Com a matriz na forma escada, podemos identificar os postos. O posto da matriz dos coeficientes é o número de linhas não nulas, que aqui é 3. O posto da matriz aumentada também é 3, já que a última coluna não adiciona nenhuma linha nova.

Passo 9

De acordo com o Teorema de Rouché-Capelli, como os postos das duas matrizes são iguais e menores que o número de incógnitas (5), o sistema é compatível indeterminado. Isso significa que há infinitas soluções e o grau de liberdade é .

Resposta

A matriz ampliada em forma escada é:
O posto das matrizes dos coeficientes e aumentada é 3. O sistema é compatível indeterminado com grau de liberdade 2.

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Determine
(d)
Seja :
A é diagonalizável? Em caso afirmativo, encontre uma base de formada por autovetores e construa a matriz de em relação à esta base.
Para quais valores de , o sistema tem
b) infinitas soluções;