Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. Confira os resultados com o Teorema de Rouché-Capelli. Faça o escalonamento passo a passo.
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Passo 1
Beleza, temos um sistema de equações com 3 equações e 5 incógnitas. A ideia aqui é transformar esse sistema em uma matriz aumentada e simplificá-la usando operações de linha para chegar à forma escada. Isso vai nos ajudar a encontrar os postos das matrizes e ver se o sistema tem solução, além de determinar o grau de liberdade se houver.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a matriz. O primeiro passo é usar o primeiro elemento da primeira linha (que é 1) como pivô para eliminar os coeficientes abaixo dele na primeira coluna.
Vamos multiplicar a primeira linha por 2 e subtrair da segunda linha para zerar o elemento abaixo do pivô:
Linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 1
Passo 4
Agora, vamos zerar o elemento abaixo do pivô na primeira coluna da terceira linha. Para isso, subtraímos a primeira linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 1
Passo 5
Em seguida, vamos usar o segundo pivô. Observamos que o segundo elemento da segunda linha é 0, então precisamos encontrar o próximo pivô na terceira coluna. Vamos simplificar a segunda e terceira linhas.
Primeiro, dividimos a segunda linha por -3 para tornar o pivô igual a 1:
Linha 2 = (1/-3) * Linha 2
Passo 6
Agora, vamos eliminar o coeficiente abaixo do pivô na terceira coluna. Para isso, adicionamos 3 vezes a segunda linha à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + 3 * Linha 2
Passo 7
Agora, vamos simplificar a terceira linha dividindo por 5 para obter um pivô igual a 1:
Linha 3 = (1/5) * Linha 3
Passo 8
Com a matriz na forma escada, podemos identificar os postos. O posto da matriz dos coeficientes é o número de linhas não nulas, que aqui é 3. O posto da matriz aumentada também é 3, já que a última coluna não adiciona nenhuma linha nova.
Passo 9
De acordo com o Teorema de Rouché-Capelli, como os postos das duas matrizes são iguais e menores que o número de incógnitas (5), o sistema é compatível indeterminado. Isso significa que há infinitas soluções e o grau de liberdade é .
Resposta
A matriz ampliada em forma escada é:
O posto das matrizes dos coeficientes e aumentada é 3. O sistema é compatível indeterminado com grau de liberdade 2.