Um quadrado abcd está contido completamente no primeiro quadrante do sistema cartesiano. Os pontos A(5,1) B(8,3) são vértices consecutivos desse quadrado. A distância entre o ponto A e o vértice C oposto a ele é
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um quadrado $ ABCD $ totalmente no primeiro quadrante do sistema cartesiano. Os vértices consecutivos $ A(5,1) $ e $ B(8,3) $ são dados. A missão aqui é descobrir a distância entre o ponto $ A $ e o vértice oposto $ C $.
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano. Vamos começar encontrando as coordenadas dos outros vértices do quadrado e, então, calcular a distância entre $ A $ e $ C $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor que vai de $ A $ para $ B $. Isso nos ajuda a entender a direção de um dos lados do quadrado. A fórmula para o vetor $ \vec{AB} $ é:
Então, $ \vec{AB} = (3, 2) $.
Passo 3
Agora, para encontrar o próximo vértice $ C $, precisamos girar o vetor $ \vec{AB} $ 90 graus no sentido anti-horário, porque os lados de um quadrado se encontram formando ângulos de 90 graus. A rotação de um vetor $ (x, y) $ em 90 graus fica $ (-y, x) $.
Então, o vetor rotacionado será:
Passo 4
Com o vetor $ \vec{BC} $ conhecido, podemos encontrar as coordenadas do ponto $ C $. Basta somar as componentes de $ \vec{BC} $ às coordenadas do ponto $ B $:
Portanto, $ C(6, 6) $.
Passo 5
Agora que temos as coordenadas de $ A(5,1) $ e $ C(6,6) $, podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos para encontrar a distância $ AC $:
Substituindo os valores:
Resposta
A distância entre o ponto $ A $ e o vértice $ C $ oposto é $ \sqrt{26} $ unidades.