Quantas comissões com 4 elementos podemos formar numa classe de 20 alunos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa descobrir quantas comissões de 4 pessoas podemos formar de uma turma com 20 alunos. Isso envolve o conteúdo de combinações, que é uma parte da probabilidade e estatística. Vamos precisar entender como calcular combinações onde a ordem não importa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação. Combinação é uma seleção de itens onde a ordem não importa. No nosso caso, queremos selecionar 4 alunos entre 20, sem se importar com a ordem em que eles são escolhidos.

Passo 3

A fórmula para calcular combinações é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde:
  • $ n $ é o total de elementos (no nosso caso, 20 alunos)
  • $ k $ é o número de elementos que queremos selecionar (4 alunos)
  • $ ! $ significa fatorial, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até aquele número.

Passo 4

Agora, vamos aplicar os valores na fórmula:
C(20, 4) = 20!4!(20 - 4)! = 20!4! times 16!

Passo 5

Vamos simplificar o cálculo. Sabemos que $ 20! = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16! $. Assim, podemos cancelar o $ 16! $ no numerador e denominador:
20! = 20 times 19 times 18 times 17 times 16!
E sabemos que $ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 $.

Passo 6

Agora, vamos calcular o numerador:
20 times 19 = 380 380 times 18 = 6,840 6,840 times 17 = 116,280
Então, temos:
C(20, 4) = 116,28024

Passo 7

Finalmente, dividindo 116.280 por 24:
116,28024 = 4,845

Resposta

Podemos formar 4.845 comissões de 4 elementos numa classe de 20 alunos.

Exercícios relacionados