Como relacionar as componentes do tensor de tensões com as componentes do tensor das deformações? Apresente as relações tensãodeformação para o caso tridimensional. Como relacionar as componentes do tensor das deformações com as componentes do vetor deslocamento?
Apresente as relações deformação-deslocamento para o caso tridimensional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pede para relacionar as componentes do tensor de tensões com as componentes do tensor das deformações no caso tridimensional. Além disso, tem que mostrar como as componentes do tensor das deformações se relacionam com as componentes do vetor deslocamento. Então, vamos precisar entender sobre tensores de tensões, tensores de deformações e vetores de deslocamento. Vamos precisar usar um pouco de álgebra linear e conceito de deformações em materiais sólidos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o tensor de tensões. Ele representa as forças internas que atuam em um material quando ele está submetido a alguma carga. Esse tensor tem componentes que indicam as tensões em diferentes direções e planos no material.

Passo 3

Agora, o tensor das deformações (ou tensor de strain) descreve como o material está deformado. Ele mostra o alongamento ou compressão nas diferentes direções devido às forças aplicadas.

Passo 4

A relação entre o tensor de tensões e o tensor de deformações é dada pelas leis constitutivas do material. Para materiais lineares e isotrópicos (que têm as mesmas propriedades em todas as direções), usamos a Lei de Hooke generalizada para 3D. Essa relação pode ser expressa usando o módulo de Young ( E) e o coeficiente de Poisson ( nu).

Passo 5

A relação tensão-deformação para o caso tridimensional é dada por:
sigmaij = E(1 + nu)(1 - 2nu) [ (1 - nu)epsilonij + nu de
Onde:
  • sigmaij são as componentes do tensor de tensões.
  • epsilonij são as componentes do tensor de deformações.
  • de é o delta de Kronecker (que é 1 se i=j e 0 caso contrário).
  • epsilonkk é a soma das deformações normais (traço do tensor de deformações).

Passo 6

Agora, vamos relacionar o tensor das deformações com o vetor deslocamento. O vetor deslocamento ( u) descreve como cada ponto do material se move. As componentes do tensor de deformações são derivadas das derivadas parciais das componentes do vetor deslocamento.

Passo 7

As relações deformação-deslocamento para o caso tridimensional são dadas por:
epsilonij = 12 ( partial uipartial xj + partial ujpartial xi )
Onde:
  • epsilonij são as componentes do tensor de deformações.
  • ui e uj são as componentes do vetor deslocamento nas direções i e j.
  • partial uipartial xj representa a derivada parcial do deslocamento na direção i em relação à coordenada xj.

Resposta

As relações tensão-deformação para o caso tridimensional são:
sigmaij = E(1 + nu)(1 - 2nu) [ (1 - nu)epsilonij + nu de
E as relações deformação-deslocamento para o caso tridimensional são:
epsilonij = 12 ( partial uipartial xj + partial ujpartial xi )

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