De quantas formas 5 homens e 5 mulheres podem ser dispostos numa mesa circular, de modo que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver. A questão diz:
“De quantas formas 5 homens e 5 mulheres podem ser dispostos numa mesa circular, de modo que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas?”
Conteúdo da matéria: Vamos usar Princípios de Contagem e Permutações em Arranjos Circulares.
O que vamos precisar:
  • Entender como funcionam as permutações em volta de uma mesa circular.
  • Saber calcular arranjos alternados para garantir que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como contar as diferentes maneiras de organizar as pessoas em uma mesa circular. Em arranjos circulares, a posição relativa importa, mas não o ponto de partida. Por isso, fixamos uma pessoa para eliminar rotações equivalentes.
Por que fixar uma pessoa? Porque em uma mesa circular, girar todos na mesma direção não cria uma disposição diferente. Fixar uma pessoa nos ajuda a evitar contar arranjos iguais várias vezes.

Passo 3

Agora, vamos fixar um dos homens na mesa. Isso serve como referência para organizar os demais.
Após fixar um homem, restam:
  • 4 homens para serem arranjados.
  • 5 mulheres para serem arranjadas.

Passo 4

Como a condição é que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas, precisamos alternar homens e mulheres ao redor da mesa.
Padrão de disposição: Homem, Mulher, Homem, Mulher, … e assim por diante.
Dessa forma, cada homem estará sempre entre duas mulheres e vice-versa.

Passo 5

Vamos calcular separadamente as maneiras de organizar os homens e as mulheres:
  • Homens: Já fixamos um homem, restam 4 homens. Eles podem ser arranjados de 4! = 4 times 3 times 2 times 1 = 24 maneiras.
    5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120
  • Mulheres: São 5 mulheres que podem ser arranjadas de maneiras.

Passo 6

Para encontrar o número total de arranjos possíveis, multiplicamos as maneiras de organizar os homens pelas maneiras de organizar as mulheres:
Total de arranjos = 4! times 5! = 24 times 120 = 2880

Resposta

Existem 2.880 maneiras diferentes de dispor 5 homens e 5 mulheres numa mesa circular de modo que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas.

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