De quantas maneiras diferentes 6 amigos podem sentar em um banco para tirar uma foto? E se dois deles só aceitam tirar a foto se ficarem juntos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir de quantas maneiras diferentes 6 amigos podem sentar em um banco para tirar uma foto. Depois, temos uma segunda parte onde dois desses amigos só aceitam tirar a foto se ficarem juntos. Vamos utilizar conceitos de permutação, que é quando a ordem importa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a primeira parte: de quantas maneiras 6 amigos podem sentar em um banco. Como a ordem importa (cada posição no banco faz diferença), vamos usar a fórmula de permutação simples:
P(n) = n!
Onde significa “fatorial de n”, que é o produto de todos os números inteiros positivos até n.

Passo 3

Aplicando isso para 6 amigos:
P(6) = 6! = 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 720
Então, sem restrições, existem 720 maneiras diferentes de sentar os 6 amigos.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: dois amigos querem ficar juntos. Vamos chamar esses amigos de A e B. Para facilitar, vamos considerar A e B como se fossem um único “bloco” ou “unidade”.

Passo 5

Assim, passamos a ter 5 unidades para organizar: o bloco (A e B) e os outros 4 amigos. A permutação dessas 5 unidades é:
P(5) = 5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120

Passo 6

Mas, dentro do bloco, A e B podem trocar de lugar. Ou seja, há 2 maneiras de organizar A e B dentro do bloco.

Passo 7

Para achar o total de maneiras com A e B juntos, multiplicamos as permutações das unidades pelo número de arranjos dentro do bloco:
Total = 5! times 2 = 120 times 2 = 240

Resposta

Portanto, 720 maneiras diferentes para os 6 amigos sentarem sem restrições e 240 maneiras se dois deles quiserem ficar juntos.

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