De quantas maneiras diferentes 6 amigos podem sentar em um banco para tirar uma foto? E se dois deles só aceitam tirar a foto se ficarem juntos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir de quantas maneiras diferentes 6 amigos podem sentar em um banco para tirar uma foto. Depois, temos uma segunda parte onde dois desses amigos só aceitam tirar a foto se ficarem juntos. Vamos utilizar conceitos de permutação, que é quando a ordem importa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a primeira parte: de quantas maneiras 6 amigos podem sentar em um banco. Como a ordem importa (cada posição no banco faz diferença), vamos usar a fórmula de permutação simples:
Onde
significa “fatorial de n”, que é o produto de todos os números inteiros positivos até n.
Passo 3
Aplicando isso para 6 amigos:
Então, sem restrições, existem 720 maneiras diferentes de sentar os 6 amigos.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte: dois amigos querem ficar juntos. Vamos chamar esses amigos de A e B. Para facilitar, vamos considerar A e B como se fossem um único “bloco” ou “unidade”.
Passo 5
Assim, passamos a ter 5 unidades para organizar: o bloco (A e B) e os outros 4 amigos. A permutação dessas 5 unidades é:
Passo 6
Mas, dentro do bloco, A e B podem trocar de lugar. Ou seja, há 2 maneiras de organizar A e B dentro do bloco.
Passo 7
Para achar o total de maneiras com A e B juntos, multiplicamos as permutações das unidades pelo número de arranjos dentro do bloco:
Resposta
Portanto, 720 maneiras diferentes para os 6 amigos sentarem sem restrições e 240 maneiras se dois deles quiserem ficar juntos.