Quantas raízes reais o polinômio p(x) = 0,01 x^9 + (x^7 / 3) + (2 x^3 / 11) + 7,42 x + raiz(2) tem? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um polinômio bem complexo:
Queremos descobrir quantas raízes reais esse polinômio tem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções polinomiais e como elas se comportam no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o grau do polinômio. O grau é o maior expoente de , que aqui é 9. Isso significa que o polinômio é de nona ordem.
Funções polinomiais de grau ímpar, como a nona, têm a característica de que seus gráficos vão do canto superior esquerdo para o canto inferior direito (ou vice-versa). Isso garante que existe pelo menos uma raiz real.

Passo 3

Agora, vamos olhar para os coeficientes do polinômio. Todos os coeficientes de são positivos:
  • é positivo para qualquer positivo.
  • também é positivo para positivo.
  • e seguem a mesma lógica.
  • O termo constante é sempre positivo.
Isso indica que, à medida que cresce, também cresce sem mudar de sinal além do necessário para garantir a existência de pelo menos uma raiz.

Passo 4

Para determinar se há mais de uma raiz real, precisamos verificar se o polinômio muda de direção, ou seja, se ele tem máximos e mínimos que permitam cruzar o eixo mais de uma vez.
Calculando a derivada de :
Essa derivada é sempre positiva para qualquer valor real de , já que todos os termos são positivos. Isso significa que a função está sempre aumentando e nunca diminui.

Passo 5

Como a função está sempre aumentando e não tem pontos de mínimo ou máximo, ela só pode cortar o eixo uma única vez.

Resposta

O polinômio tem uma única raiz real.

Exercícios relacionados

Seja f(x) = raiz(1 - x). Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (3/4, f(3/4));
verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial ( c1 e c2 são constantes). x^2 y'' - 2 x y' + 2 y = 0
y = c1 x + c2 x^2
Calcule os limites abaixo: lim (x, y) (1,2) x^2+y^2-5x-1
Calcule a derivada da seguinte função
f(x) = e^(x^2) * raiz(cubo(x)) - tg(x) / (1 + x^2) + sen(cos(2x + 1)) - ln(raiz(1 + x^4))