Quantas raízes reais o polinômio
tem? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um polinômio bem complexo:
Queremos descobrir quantas raízes reais esse polinômio tem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções polinomiais e como elas se comportam no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o grau do polinômio. O grau é o maior expoente de
, que aqui é 9. Isso significa que o polinômio é de nona ordem.
Funções polinomiais de grau ímpar, como a nona, têm a característica de que seus gráficos vão do canto superior esquerdo para o canto inferior direito (ou vice-versa). Isso garante que existe pelo menos uma raiz real.
Passo 3
Agora, vamos olhar para os coeficientes do polinômio. Todos os coeficientes de
são positivos:
-
é positivo para qualquer positivo. -
também é positivo para positivo. -
e seguem a mesma lógica. - O termo constante
é sempre positivo.
Isso indica que, à medida que
cresce,
também cresce sem mudar de sinal além do necessário para garantir a existência de pelo menos uma raiz.
Passo 4
Para determinar se há mais de uma raiz real, precisamos verificar se o polinômio muda de direção, ou seja, se ele tem máximos e mínimos que permitam cruzar o eixo
mais de uma vez.
Calculando a derivada de
:
Essa derivada é sempre positiva para qualquer valor real de
, já que todos os termos são positivos. Isso significa que a função
está sempre aumentando e nunca diminui.
Passo 5
Como a função está sempre aumentando e não tem pontos de mínimo ou máximo, ela só pode cortar o eixo
uma única vez.
Resposta
O polinômio
tem uma única raiz real.
Exercícios relacionados
Seja
. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
;
verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial (
e
são constantes).
Calcule os limites abaixo:
Calcule a derivada da seguinte função