Seja
. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
.
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, especificamente derivadas e retas tangentes.
O que vamos precisar:
- Calcular o valor de
. - Encontrar a derivada de
para determinar o coeficiente angular da reta tangente. - Usar a equação da reta tangente com o ponto e o coeficiente angular encontrados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
.
A função é
. Substituindo
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
, que representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
A função é
, que podemos reescrever como
. Usando a regra da potência para derivadas:
Simplificando:
Passo 4
Vamos calcular
para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto dado.
Então, o coeficiente angular
da reta tangente é
.
Passo 5
Com o ponto
e a inclinação
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Distribuindo o
:
Passo 6
Vamos isolar o
para deixar a equação na forma padrão:
Somando as constantes:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é:
Exercícios relacionados
verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial (
e
são constantes).
Escreva a definição de uma função contínua no ponto
;
Quantas raízes reais o polinômio
tem? Justifique sua resposta.
Calcule os limites abaixo: