Seja f(x) = raiz(1 - x). Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (3/4, f(3/4));

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto .
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, especificamente derivadas e retas tangentes.
O que vamos precisar:
  1. Calcular o valor de .
  2. Encontrar a derivada de para determinar o coeficiente angular da reta tangente.
  3. Usar a equação da reta tangente com o ponto e o coeficiente angular encontrados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de .
A função é . Substituindo :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de , que representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .
A função é , que podemos reescrever como . Usando a regra da potência para derivadas:
Simplificando:

Passo 4

Vamos calcular para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto dado.
Então, o coeficiente angular da reta tangente é .

Passo 5

Com o ponto e a inclinação , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Distribuindo o :

Passo 6

Vamos isolar o para deixar a equação na forma padrão:
Somando as constantes:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é:

Exercícios relacionados

verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial ( c1 e c2 são constantes). x^2 y'' - 2 x y' + 2 y = 0
y = c1 x + c2 x^2
Escreva a definição de uma função contínua no ponto (x0, y0);
Quantas raízes reais o polinômio p(x) = 0,01 x^9 + (x^7 / 3) + (2 x^3 / 11) + 7,42 x + raiz(2) tem? Justifique sua resposta.
Calcule os limites abaixo: lim (x, y) (1,2) x^2+y^2-5x-1