Calcule os limites abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com limites de funções de várias variáveis. Para resolver esse tipo de limite, precisamos verificar se o limite existe e é o mesmo quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos.
O que vamos precisar: Vamos utilizar o conceito de limite existindo apenas se for o mesmo por todos os caminhos possíveis de aproximação ao ponto.
Passo 2
Vamos verificar o que acontece quando substituímos diretamente
e
na função:
Esse resultado
é uma indeterminação, o que significa que precisamos analisar melhor para encontrar o limite.
Passo 3
Para analisar o limite, vamos nos aproximar do ponto
por diferentes caminhos e verificar se obtemos o mesmo resultado. Se os limites forem diferentes por caminhos distintos, o limite geral não existe.
Vamos considerar uma linha reta passando por
na forma
, onde
é a inclinação da reta.
Passo 4
Substituindo
na função original:
Vamos expandir o numerador:
Passo 5
Agora, a expressão fica:
Podemos fatorar o termo
como
:
Passo 6
Dividindo cada termo do numerador por
:
Agora, ao aproximar
de 1:
Passo 7
Percebi que o resultado final depende do valor de
. Isso significa que, dependendo da inclinação da reta pela qual nos aproximamos de
, o limite muda.
Por exemplo:
- Se
: limite = - Se
: limite =
Resposta
Como o limite depende do caminho escolhido (valor de
), o limite
não existe.
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. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
;
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Calcule os limites abaixo: