Calcule os limites abaixo: lim (x, y) (1,2) x^2+y^2-5x-1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite:
lim (x, y) (1,2) x^2+y^2-5x-1
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com limites de funções de várias variáveis. Para resolver esse tipo de limite, precisamos verificar se o limite existe e é o mesmo quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos.
O que vamos precisar: Vamos utilizar o conceito de limite existindo apenas se for o mesmo por todos os caminhos possíveis de aproximação ao ponto.

Passo 2

Vamos verificar o que acontece quando substituímos diretamente 1^2 + 2^2 - 51 - 1 = 1 + 4 - 50 = 00 e na função:
Esse resultado é uma indeterminação, o que significa que precisamos analisar melhor para encontrar o limite.

Passo 3

Para analisar o limite, vamos nos aproximar do ponto por diferentes caminhos e verificar se obtemos o mesmo resultado. Se os limites forem diferentes por caminhos distintos, o limite geral não existe.
Vamos considerar uma linha reta passando por na forma , onde é a inclinação da reta.

Passo 4

Substituindo x^2 + (2 + m(x - 1))^2 - 5x - 1 na função original:
x^2 + (4 + 4m(x - 1) + m^2(x - 1)^2) - 5 = x^2 - 1 + 4m(x - 1) + m^2(x - 1)^2
Vamos expandir o numerador:

Passo 5

Agora, a expressão fica:
x^2 - 1 + 4m(x - 1) + m^2(x - 1)^2x - 1
Podemos fatorar o termo (x + 1)(x - 1) + 4m(x - 1) + m^2(x - 1)^2x - 1 como :

Passo 6

Dividindo cada termo do numerador por (x + 1) + 4m + m^2(x - 1) :
1 + 1 + 4m + m^2(0) = 2 + 4m
Agora, ao aproximar de 1:

Passo 7

Percebi que o resultado final depende do valor de . Isso significa que, dependendo da inclinação da reta pela qual nos aproximamos de , o limite muda.
Por exemplo:
  • Se : limite =
  • Se : limite =

Resposta

Como o limite depende do caminho escolhido (valor de ), o limite não existe.

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