Quantas são as opções que se tem de construir uma placa de automóvel:
(e) formada só por vogal e número pares, sendo letras e números distintos?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber de quantas formas podemos construir uma placa de automóvel que seja formada apenas por vogais e números pares, sem repetir letras ou números. Para resolver isso, vamos usar conceitos de permutação, que nos ajudam a contar quantas maneiras diferentes podemos arranjar um conjunto de elementos.

Passo 2

Vamos considerar que uma placa de automóvel típica tem 3 letras seguidas de 4 números. Como a placa deve ser formada apenas por vogais e números pares, vamos primeiro identificar quantas opções temos para as letras e para os números.
  • Vogais disponíveis: A, E, I, O, U. São 5 vogais.
  • Números pares disponíveis: 0, 2, 4, 6, 8. São 5 números pares.

Passo 3

Como as letras precisam ser distintas, vamos calcular de quantas maneiras podemos escolher 3 vogais diferentes das 5 disponíveis. Isso é um problema de permutação sem repetição, onde a ordem importa.
A fórmula para permutação de P(n, p) = n!(n - p)! elementos tomados de P(5, 3) = 5!(5 - 3)! = 5 times 4 times 3 times 2 times 12 times 1 = 60 maneiras em é:
Aplicando isso para as letras:

Passo 4

Agora, vamos calcular de quantas maneiras podemos escolher 4 números pares diferentes dos 5 disponíveis. Novamente, usamos a fórmula de permutação sem repetição.
P(5, 4) = 5!(5 - 4)! = 5 times 4 times 3 times 2 times 11 = 120 maneiras

Passo 5

Para encontrar o total de combinações possíveis da placa, multiplicamos o número de maneiras de escolher as letras pelo número de maneiras de escolher os números.
Total de combinações = 60 times 120 = 7200 çõ

Resposta

Existem 7.200 opções para construir a placa de automóvel conforme as condições dadas.

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