Suponha que o vão de uma porta em construção deve ser utilizado por pessoas que têm altura normalmente distribuída com média 1,80m e desvio padrão de 8 cm .
a) Qual a altura mínima do vão da porta que não mais de 2 % das pessoas batam com a cabeça na porta?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos diz que as alturas das pessoas seguem uma distribuição normal, ou seja, a maioria das pessoas está próxima da média, e poucas são muito mais altas ou muito mais baixas. A média das alturas é de 1,80 metros e o desvio padrão é de 8 centímetros. Nosso objetivo aqui é descobrir qual deve ser a altura mínima da porta para que no máximo 2% das pessoas batam com a cabeça nela. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre distribuição normal e usar a tabela Z, que nos ajuda a encontrar percentis nessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar qual altura corresponde ao percentil que queremos. Como queremos que apenas 2% das pessoas sejam mais altas que a porta, isso significa que 98% das pessoas serão mais baixas que a porta. Portanto, estamos procurando o 98º percentil da distribuição de alturas.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor z correspondente ao 98º percentil. O valor z é uma medida que nos diz quantos desvios padrão um valor está acima ou abaixo da média. Usando a tabela Z ou uma calculadora estatística, descobrimos que o valor z para o 98º percentil é aproximadamente 2,05.

Passo 4

Com o valor z em mãos, podemos usar a fórmula da distribuição normal para encontrar a altura correspondente:
a
Onde:
  • é a média (1,80 m),
  • é o valor z (2,05),
  • é o desvio padrão (0,08 m, já que 8 cm = 0,08 m).

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
a
Calculando:
a

Resposta

Portanto, a altura mínima da porta deve ser de aproximadamente 1,96 metros para que no máximo 2% das pessoas batam com a cabeça nela.

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