Quantas são as soluções inteiras não negativas da inequação
5.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa descobrir quantas combinações de números inteiros não negativos (0, 1, 2, …) satisfazem a inequação
. Isso está dentro do conteúdo de combinatória, mais especificamente em combinações com repetição. Para resolver, vamos precisar transformar essa inequação em uma equação que seja mais fácil de contar as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a nossa inequação
em uma equação. Para isso, a gente adiciona uma variável extra, digamos
, que vai representar o “espaço” sobrando. Assim, podemos reescrever a inequação como uma equação:
Agora, estamos procurando soluções inteiras não negativas para essa equação.
Passo 3
Agora, vamos usar uma técnica chamada “estrelas e barras” (stars and bars), que é uma forma de contar combinações com repetição. A ideia é que temos 5 unidades (as estrelas) que queremos distribuir entre as 4 variáveis (
).
O número de maneiras de fazer isso é dado pela fórmula de combinações:
Onde:
-
é o número total de unidades (neste caso, 5), -
é o número de variáveis (neste caso, 4).
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Agora, vamos calcular o valor de
, que é o número de combinações de 8 elementos tomados 3 a 3.
Passo 5
A fórmula de combinações é:
Aplicando isso ao nosso caso:
Resposta
Existem 56 soluções inteiras não negativas que satisfazem a inequação
.
Exercícios relacionados
Quantos anagramas da palavra ANALITICA existem?
Com relação a palavra TEORIA: Quantos anagramas começam com
e terminam com
?
Quantas são as soluções inteiras positivas da equação
?
Com relação a palavra TEORIA: Quantos anagramas existem?